Независимость определителя оператора от базиса. Теорема умножения определителей

Лемма (*):

[math] \mathcal{A}^{\wedge_p} {e_{i_1}} \land {e_{i_2}} \land ... \land {e_{i_p}} \stackrel{\mathrm{def}}{=} \mathcal{A}{e_{i_1}} \land \mathcal{A}{e_{i_2}} \land... \land \mathcal{A}{e_{i_p}} [/math]

Лемма (**):

Если [math] {x_1} \land {x_2} \land... \land {x_p} \in {\wedge_p} [/math], то [math] \mathcal{A}^{\wedge_p} {x_1} \land {x_2} \land ... \land {x_p} = \mathcal{A}{x_1} \land \mathcal{A}{x_2} \land... \land \mathcal{A}{x_p} [/math]

Лемма (***):

[math] \mathcal{A}^{\wedge_n} z = \det \mathcal{A} \cdot z [/math]

Теорема умножения определителей

Теорема:

Пусть [math]\mathcal{A}[/math], [math]\mathcal{B} \colon X \to X[/math] (автоморфизм). Тогда [math]\det (\mathcal{A} \cdot \mathcal{B}) = \det \mathcal{A} \cdot \det \mathcal{B}[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]\det (\mathcal{A} \cdot \mathcal{B}) {e_1} \land {e_2} \land... \land{e_n} = [/math] [math] (\mathcal{A} \cdot \mathcal{B})^{\wedge_n}{e_1} \land {e_2} \land... \land{e_n} \stackrel{\mathrm{(*)}}{=}[/math] [math] (\mathcal{A} \cdot \mathcal{B}) {e_1} \land (\mathcal{A} \cdot \mathcal{B}) {e_2} \land ... \land (\mathcal{A} \cdot \mathcal{B}) {e_n} \stackrel{\mathrm{(def\mathcal{A} \cdot \mathcal{B})}}{=}[/math] [math] \mathcal{A} (\mathcal{B} {e_1}) \land \mathcal{A} (\mathcal{B} {e_2}) \land ... \land \mathcal{A} (\mathcal{B} {e_n}) \stackrel{\mathrm{(**)}}{=}[/math] [math] \mathcal{A}^{\wedge_n}(\mathcal{B} {e_1} \land \mathcal{B} {e_2} \land ... \land \mathcal{B} {e_n})\stackrel{\mathrm{(***)}}{=}[/math] [math] \det \mathcal{A} \cdot (\mathcal{B} {e_1} \land \mathcal{B} {e_2} \land ... \land \mathcal{B} {e_n}) \stackrel{\mathrm{(***)}}{=}[/math] [math] \det \mathcal{A} \cdot \mathcal{B}^{\wedge_n}({e_1} \land {e_2} \land ... \land {e_n}) = [/math] [math] \det \mathcal{A} \cdot \det \mathcal{B} \cdot {e_1} \land {e_2} \land ... \land {e_n} [/math] т.е. [math] \det (\mathcal{A} \cdot \mathcal{B}) {e_1} \land {e_2} \land... \land{e_n} = [/math] [math] \det \mathcal{A} \cdot \det \mathcal{B} \cdot {e_1} \land {e_2} \land ... \land {e_n} [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение:

Следствие 1: Пусть [math]\mathcal{A} \colon X \to X[/math] обратим, т.е. [math](\exists \mathcal{A}^{-1}) [/math] [math] \det \mathcal{A} \ne 0 [/math] Тогда: [math]\mathcal{A}^{-1} = (\det \mathcal{A})^{-1} [/math]

[math]\triangleright[/math]

[math]\mathcal{A}^{-1} \cdot \mathcal{A} = \mathcal{I} \det (\mathcal{A}^{-1} \cdot \mathcal{A}) = [/math] [math] \det \mathcal{A}^{-1} \cdot \det \mathcal{A} = \det \mathcal{I} = 1 (\det {E} = 1) [/math] Итого: [math] \det \mathcal{A}^{-1} = (\det \mathcal{A})^{-1} [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение:

Следствие 2: Пусть [math]\tilde{A} = T^{-1}AT[/math] Тогда [math] \det \tilde{A} = \det A [/math] [math] \det \tilde{A} = \det T \det A \det T^{-1} = \det A [/math]