|
|
Строка 59: |
Строка 59: |
| | | |
| Иначе <tex>C_{max}</tex> достигается на <tex>M_{2}</tex>. | | Иначе <tex>C_{max}</tex> достигается на <tex>M_{2}</tex>. |
− | Тогда ответ равен решению задачи [[F2Cmax|<tex>F2 \mid \mid C_{max}</tex>]] для работ <tex>I_{21}</tex>, который оптимален. | + | Тогда целевая функция равна ответу задачи [[F2Cmax|<tex>F2 \mid \mid C_{max}</tex>]] для работ <tex>I_{21}</tex>, который оптимален. |
| | | |
| }} | | }} |
Версия 17:16, 22 июня 2013
Постановка задачи
Рассмотрим задачу:
- Дано [math]n[/math] работ и [math]2[/math] станка.
- Для каждой работы известно её время выполнения на каждом станке [math]p_{i}[/math].
- Для каждой работы известна последовательность станков - порядок, в котором нужно выполнить работу. [math]1[/math].
- Длина любой последовательности [math]\lt =2[/math].
Требуется минимизировать время окончания выполнения всех работ.
Описание алгоритма
[math]M_{1}[/math] - первый станок. [math]M_{2}[/math] - второй станок.
Разобьем все работы на четыре множества:
- [math]I_{1}[/math] - множество всех работ, которые должны выполнится только на [math]M_{1}[/math].
- [math]I_{2}[/math] - множество всех работ, которые должны выполнится только на [math]M_{2}[/math].
- [math]I_{12}[/math] - множество всех работ, которые должны выполнится сначала на [math]M_{1}[/math] затем на [math]M_{2}[/math].
- [math]I_{21}[/math] - множество всех работ, которые должны выполнится сначала на [math]M_{2}[/math] затем на [math]M_{1}[/math].
Решим задачу [math]F2 \mid \mid C_{max}[/math] для [math]I_{12}[/math] и для [math]I_{21}[/math]. Получим расписание [math]S_{12}[/math] и [math]S_{21}[/math].
Тогда оптимальное расписание для нашей задачи будет следующим:
- Расписание [math]M1[/math] : сначала [math]I_{12}[/math] в соответсвии с расписанием [math]S_{12}[/math]. Затем [math]I_{1}[/math] в произвольном порядке. Затем [math]I_{21}[/math] в соответсвии с [math]S_{21}[/math].
- Расписание [math]M_{2}[/math] : сначала [math]I_{21}[/math] в соответсвии с расписанием [math]S_{21}[/math]. Затем [math]I_{2}[/math] в произвольном порядке. Затем [math]I_{12}[/math] в соответсвии с [math]S_{12}[/math].
Примечание: во время выполнения [math]I_{21}[/math] на [math]M_{1}[/math] или [math]I_{12}[/math] на [math]M_{2}[/math] могут возникнуть простои
из-за того, что работа ещё не выполнилась на предыдущем станке.
Доказательство корректности алгоритма
[math]T_{j}(x)[/math] - время выполнения множества работ [math]x[/math] на станке [math]j[/math].
[math]G_{j}[/math] - множество всех работ, которые нужно сделать хотя бы раз на [math]j[/math]-м станке. (Формально [math]G_{1} = I_{1} \cup I_{12} \cup I_{21}[/math])
Лемма: |
Расписание, построенное данным алгоритмом, обладает следующим свойством : один из станков работает без простоев. |
Доказательство: |
[math]\triangleright[/math] |
Рассмотрим 2 варианта:
[math]T_{1}(I_{12}) + T_{1}(I_{1}) \gt = T_{2}(I_{21}) [/math].
Тогда [math]M_{1}[/math] работает без прерываний, т.к к тому моменту завершения выполнения [math]I_{1}[/math] на [math] M_{1} [/math] все работы [math]I_{21}[/math] выполнены на [math]M_{2}[/math].
Иначе [math]T_{1}(I_{12}) + T_{1}(I_{1}) \lt T_{2}(I_{21}) [/math].
Тогда [math]M_{2}[/math] работает без прерываний, т.к к тому моменту завершения выполнения [math]I_{2}[/math] на [math] M_{2} [/math] все работы [math]I_{12}[/math] выполнены на [math]M_{1}[/math] . |
[math]\triangleleft[/math] |
Теорема: |
Расписание, построенное данным алгоритмом, является корректным и оптимальным. |
Доказательство: |
[math]\triangleright[/math] |
Корректность алгоритма очевидна.
Докажем оптимальность.
Пусть, для опеределенности [math]M_{1}[/math] работает без прерываний.
Рассмотрим станок на котором достигается [math]C_{max}[/math] . Если это [math]M_{1}[/math], то оптимальность очевидна([math]C_{max} \gt = \sum\limits_{i \in G_{1}} p_i [/math])
Иначе [math]C_{max}[/math] достигается на [math]M_{2}[/math].
Тогда целевая функция равна ответу задачи [math]F2 \mid \mid C_{max}[/math] для работ [math]I_{21}[/math], который оптимален. |
[math]\triangleleft[/math] |
Сложность алгоритма
Время работы алгоритма равно времени работы алгоритма [math]F2 \mid \mid C_{max}[/math].
Сложность алгоритма [math]O(n\log n)[/math].