Теоретико-числовые функции — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Количество делителей)
(Сумма делителей)
Строка 7: Строка 7:
 
*2. Для любых положительных взаимно простых <tex> a_1 </tex> и <tex> a_2 </tex> имеем <tex> \theta(a_1 a_2) = \theta(a_1)\theta(a_2) </tex>
 
*2. Для любых положительных взаимно простых <tex> a_1 </tex> и <tex> a_2 </tex> имеем <tex> \theta(a_1 a_2) = \theta(a_1)\theta(a_2) </tex>
 
}}
 
}}
 
== Сумма делителей ==
 
 
{{Определение
 
|definition=
 
Функция <tex>~\sigma (a) </tex> определяется как сумма делителей натурального числа '''a''':
 
<center><tex>
 
~\sigma (a) = \sum_{d|a} d
 
</tex></center>
 
}}
 
 
 
 
Функция <tex>~\sigma (a) </tex> мультипликативна по тем же соображениям, что и <tex>~\tau (a) </tex>
 
<center><tex>
 
~\sigma (ab) = \sigma (a) \sigma(b)
 
</tex></center>
 
  
 
== Функция Мёбиуса ==
 
== Функция Мёбиуса ==

Версия 18:54, 8 октября 2010

Эта статья находится в разработке!

Мультипликативность функции

Определение:
Функция [math] \theta (a) [/math] называется мультипликативной, если выполнены следующие условия:
  • 1. Функция [math] \theta (a) [/math] определена для всех целых положительных a и не обращается в 0 хотя бы при одном таком a
  • 2. Для любых положительных взаимно простых [math] a_1 [/math] и [math] a_2 [/math] имеем [math] \theta(a_1 a_2) = \theta(a_1)\theta(a_2) [/math]


Функция Мёбиуса

Определение:
Функция Мёбиуса [math] \mu (a) [/math] определяется для всех целых положительных a. Она задается равенствами:
  • [math] \mu (a) = 0 [/math], если a делится на квадрат, отличный от 1.
  • [math] \mu (a) = {(-1)}^k [/math], если a не делится на квадрат, где k — число простых делителей a.


Свойства

  • 1. Функция Мёбиуса мультипликативна.
  • 2. Сумма значений функции Мёбиуса по всем делителям целого числа n, не равного единице, равна нулю
[math]\sum_{d | n} \mu(d) = \begin{cases} 1,&n=1,\\ 0,&n\gt 1.\end{cases}[/math]

Свертка Дирихле

Определение:
Сверткой Дирихле двух мультипликативных функций f и g, называется функция вида:
[math] (f*g)(n) = \sum_{d|n} f(d)g(\frac{n}{d})[/math]


Свойство. [math] (f*g) [/math] - мультпликативна.
Доказательство свойства: [math] (m;n)=1 \text{ ,} (f*g)(mn) = \sum_{d|n} f(d)g(\frac{nm}{d}) = \sum_{d_1|n,d_2|m} f(d_1 d_2)g(\frac{nm}{d_1 d_2}) = [/math]
[math] = \sum_{d_1|n,d_2|m} f(d_1) f(d_2)g(\frac{n}{d_1}) g(\frac{m}{d_2}) = (\sum_{d_1|n} f(d_1)g(\frac{n}{d_1}))*(\sum_{d_2|m} f(d_2)g(\frac{m}{d_2})) [/math] ч.т.д.