175
правок
Изменения
Новая страница: «== Мультипликативность функции == {{Определение |definition= Функция <tex> \theta (a) </tex> называется '''му…»
== Мультипликативность функции ==
{{Определение
|definition=
Функция <tex> \theta (a) </tex> называется '''мультипликативной''', если выполнены следующие условия: <br>
*1. Функция <tex> \theta (a) </tex> определена для всех целых положительных '''a''' и не обращается в 0 хотя бы при одном таком '''a'''
*2. Для любых положительных взаимно простых <tex> a_1 </tex> и <tex> a_2 </tex> имеем <tex> \theta(a_1 a_2) = \theta(a_1)\theta(a_2) </tex>
}}
== Свертка Дирихле ==
{{Определение
|definition=
'''Сверткой Дирихле''' двух мультипликативных функций '''f''' и '''g''', называется функция вида:
<center> <tex> (f*g)(n) = \sum_{d|n} f(d)g(\frac{n}{d})</tex> </center> <br>
}}
'''Свойство.''' <tex> (f*g) </tex> - '''мультпликативна.''' <br>
'''Доказательство свойства:'''
<tex> (m;n)=1 \text{ ,} (f*g)(mn) = \sum_{d|n} f(d)g(\frac{nm}{d}) = \sum_{d_1|n,d_2|m} f(d_1 d_2)g(\frac{nm}{d_1 d_2}) = </tex><br>
<tex> = \sum_{d_1|n,d_2|m} f(d_1) f(d_2)g(\frac{n}{d_1}) g(\frac{m}{d_2}) = (\sum_{d_1|n} f(d_1)g(\frac{n}{d_1}))*(\sum_{d_2|m} f(d_2)g(\frac{m}{d_2})) </tex> ч.т.д.
{{Определение
|definition=
Функция <tex> \theta (a) </tex> называется '''мультипликативной''', если выполнены следующие условия: <br>
*1. Функция <tex> \theta (a) </tex> определена для всех целых положительных '''a''' и не обращается в 0 хотя бы при одном таком '''a'''
*2. Для любых положительных взаимно простых <tex> a_1 </tex> и <tex> a_2 </tex> имеем <tex> \theta(a_1 a_2) = \theta(a_1)\theta(a_2) </tex>
}}
== Свертка Дирихле ==
{{Определение
|definition=
'''Сверткой Дирихле''' двух мультипликативных функций '''f''' и '''g''', называется функция вида:
<center> <tex> (f*g)(n) = \sum_{d|n} f(d)g(\frac{n}{d})</tex> </center> <br>
}}
'''Свойство.''' <tex> (f*g) </tex> - '''мультпликативна.''' <br>
'''Доказательство свойства:'''
<tex> (m;n)=1 \text{ ,} (f*g)(mn) = \sum_{d|n} f(d)g(\frac{nm}{d}) = \sum_{d_1|n,d_2|m} f(d_1 d_2)g(\frac{nm}{d_1 d_2}) = </tex><br>
<tex> = \sum_{d_1|n,d_2|m} f(d_1) f(d_2)g(\frac{n}{d_1}) g(\frac{m}{d_2}) = (\sum_{d_1|n} f(d_1)g(\frac{n}{d_1}))*(\sum_{d_2|m} f(d_2)g(\frac{m}{d_2})) </tex> ч.т.д.
