Алгоритм нахождения Гамильтонова цикла в условиях теорем Дирака и Оре

Описание алгоритма

Алгоритм находит гамильтонов цикл в неориентированном графе [math] \mathbb{G} = (\mathbb{V}, \mathbb{E}) [/math], если выполняются условия теоремы Оре или выполнена теорема Дирака. Рассмотрим перестановку вершин [math] \mathrm{v}_1 \mathrm{v}_2 ... \mathrm{v}_n[/math], где [math]n = | \mathbb{V} |[/math]. Если между каждой парой соседних вершин в перестановке существует ребро, то мы получили Гамильтонов цикл. В противном случае, начиная с пары [math] \mathrm{v}_1 \mathrm{v}_2 [/math], начнем последовательно рассматривать пары соседних вершин [math] \mathrm{v}_i \mathrm{v}_{i+1} [/math], пока [math]i \ge n[/math] (Когда [math]i = n[/math], за [math]\mathrm{v}_{i+1}[/math] считаем [math]\mathrm{v}_{1}[/math]).

• Если между ними есть ребро, то переходим к следующей паре вершин [math] \mathrm{v}_{i+1} \mathrm{v}_{i+2}[/math].
• Если же ребра нет, то найдем такую вершину [math]\mathrm{v}_j[/math] (то, что она всегда существует, будет показано ниже), что [math] \mathrm{v}_j \in{\mathbb{V}} \setminus \{ \mathrm{v}_i, \mathrm{v}_{i+1} \} [/math], и существуют ребра [math] \mathrm{v}_i \mathrm{v}_j[/math] и [math] \mathrm{v}_{i+1} \mathrm{v}_{j+1} [/math] (Если [math] j = n[/math] , то за [math]\mathrm{v}_{j+1}[/math] считаем [math]\mathrm{v}_{1}[/math]).
  • Если [math]i \lt j [/math] то перевернем часть перестановки от [math] i+1 [/math] до [math] j [/math] (включительно).
  • Если [math] i \gt j [/math] обменяем в перестановке элементы на позициях [math] (i + 1 + k)\ \operatorname{mod}\ n [/math] и [math] (j - k +n)\ \operatorname{mod}\ n [/math], где [math]k = \overline{0, (j + n - i)\ \operatorname{div}\ 2}[/math], то есть считаем [math]\mathrm{v}_{i}...\mathrm{v}_{j}[/math] равной [math]\mathrm{v}_{i}...\mathrm{v}_{n}\mathrm{v}_{1}...\mathrm{v}_{j}[/math]. Например, если [math]n = 10, i = 8, j = 1[/math], то [math]\mathrm{v}_9 [/math] и [math]\mathrm{v}_1[/math] поменяются местами, а [math]\mathrm{v}_{10}[/math] останется на месте.

Псевдокод

for i = 1 to n - 1 // перебираем все вершины перестановки [math]P[/math] от первой до предпоследней if [math] v_i v_{i+1} \notin \mathbb{E} [/math] // если нет ребра между [math]v_i v_{i+1} [/math] for [math]v_j \in \mathbb{V} \setminus \{v_i, v_{i + 1}\}[/math] // перебираем все остальные вершины if [math]v_i v_j \in \mathbb{E}\[/math] && [math] v_{i+1} v_{j+1} \in \mathbb{E}[/math] // если есть ребра [math]v_i v_j,\ v_{i+1} v_{j+1} [/math] reverse_subsequence([math]P, i+1, j[/math]) // разворачиваем часть перестановки [math]P[/math] от i+1 позиции до j break // переходим к следующей итерации внешнего for

Доказательство алгоритма

Заметим, что поскольку мы сделали нашу перестановку в виде зацикленного списка, то мы можем рассматривать перебор все пар соседних в перестановке вершин, как сдвиг указателя на начало списка. Тогда будем сдвигать указатель на нашу перестановку так, чтобы она начиналась с рассматриваемой пары [math]\mathrm{v}_i \mathrm{v}_{i+1}[/math]. Если теперь между первыми двумя вершинами есть ребро, то можем переходить к рассмотрению следующей пары, так как в этом случае мы ничего не делаем. Если же ребра нет, то докажем, что обязательно найдется вершина [math] \mathrm{v}_j \in \mathbb{V} \setminus \{\mathrm{v}_1, \mathrm{v}_{2}\}[/math], такая что [math]\mathrm{v}_1 \mathrm{v}_j,\ \mathrm{v}_2 \mathrm{v}_{j+1} \in \mathbb{E} [/math].

Пусть [math]S= \{ i| \mathrm{e}_i = \mathrm{v}_1 \mathrm{v}_i \in \mathbb{E}\} \subset \{3, 4, ...,n\}[/math] и [math]T = \{ i| f_i=\mathrm{v}_2 \mathrm{v}_{i+1} \in \mathbb{E} \} \subset \{2, 3, ...,n-1\}[/math]. Тогда [math]S \cup T \subset \{2,3,...,n\}[/math], откуда [math]|S \cup T |\lt n[/math]. Но [math]|S|+|T| = \operatorname{deg}\ v_1 + \operatorname{deg}\ v_2 \ge n[/math] по условию теоремы Оре или теоремы Дирака, в зависимости от наших начальных условий. А значит [math]S \cap T \ne \varnothing[/math], следовательно искомая вершина обязательно найдется. Поскольку каждый раз, когда у нас нет ребра между двумя обрабатываемыми вершинами, мы переворачиваем нашу последовательность так, чтобы после переворота [math]\mathrm{v}_i, \mathrm{v}_{i+1}[/math] и [math]\mathrm{v}_j, \mathrm{v}_{j+1}[/math] становились связанными ребром, то, рассмотрев все пары вершин в последовательности, мы добьемся того, что любые две соседние пары вершин [math]\mathrm{v}_i, \mathrm{v}_{i+1}[/math] будут связаны ребром, а это и значит что мы нашли цикл.

Сложность алгоритма

Алгоритм работает за [math]O(n^2)[/math]. Действительно, количество итераций внешнего цикла [math]\mathrm{for}[/math] всегда равно [math]n - 1[/math], во внутреннем цикле, в худшем случае, будет выполнено [math]n - 2[/math] итерации, получаем время работы [math]O(n^2)[/math].

См.также

• Гамильтоновы графы
• Теорема Оре
• Теорема Дирака