Гомоморфизм групп — различия между версиями
(→Свойства гомоморфизмов: чуть больше понятности) |
|||
(не показана 1 промежуточная версия этого же участника) | |||
Строка 15: | Строка 15: | ||
}} | }} | ||
− | + | == Примеры == | |
+ | * Возьмём отображение <tex> h \colon \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}</tex>, определённое следующим образом: <tex> h(x) = x \bmod 3 </tex>, {{---}} а в качестве бинарной операции возьмём сложение. Ядром такого гомоморфизма будут числа, кратные трём. | ||
− | + | == Свойства гомоморфизмов групп == | |
{{Утверждение | {{Утверждение | ||
|statement=Гомоморфизм переводит нейтральный элемент в нейтральный (<tex>e_1\in G_1</tex> в <tex>e_2 \in G_2</tex>). | |statement=Гомоморфизм переводит нейтральный элемент в нейтральный (<tex>e_1\in G_1</tex> в <tex>e_2 \in G_2</tex>). |
Версия 21:03, 10 ноября 2013
Определение: |
Отображение группы в группу называется гомоморфизмом, если оно сохраняет групповую структуру:
|
Обозначения:
единица в -ой группе.Определение: |
— ядро гомоморфизма . |
Определение: |
— образ гомоморфизма . |
Примеры
- Возьмём отображение , определённое следующим образом: , — а в качестве бинарной операции возьмём сложение. Ядром такого гомоморфизма будут числа, кратные трём.
Свойства гомоморфизмов групп
Утверждение: |
Гомоморфизм переводит нейтральный элемент в нейтральный ( в ). |
По определению гомоморфизма имеем:
Умножая с обеих сторон на обратный к элемент, получим:
|
Утверждение: |
Гомоморфизм переводит обратный элемент в обратный: |
что вместе с единственностью обратного к элемента означает . |