1679
правок
Изменения
Нет описания правки
:<tex>\forall a,b\in G_1 : \phi(a\cdot b) = \phi(a)\times \phi(b)</tex>
}}
'''Обозначения:'''
<tex>e(G_i)</tex> единица в <tex>G_i</tex>-ой группе.
{{Определение
|definition=
<tex>\textrm{ker}\phi=\{x\in G_1\vert\phi(x)=e(G_2)\}</tex> — '''ядро гомоморфизма''' <tex>\phi:G_1\rightarrow G_2</tex>.
}}
{{Определение
|definition=
<tex>\textrm{im}\phi=\{y\in G_2\vert\exists x\in G_1:\phi(x)=y\}</tex> — '''образ гомоморфизма''' <tex>\phi:G_1\rightarrow G_2</tex>.
}}
== Примеры ==
* Возьмём отображение <tex> h \colon \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}</tex>, определённое следующим образом: <tex> h(x) = x \bmod 3 </tex>, {{---}} а в качестве бинарной операции возьмём сложение. Ядром такого гомоморфизма будут числа, кратные трём.
{{Утверждение
|statement=Гомоморфизм переводит нейтральный элемент в нейтральный (<tex>e_1\in G_1</tex> в <tex>e_2 \in G_2</tex>).
|proof=
По определению гомоморфизма имеем:
:<tex>\phi(e_1)\times\phi(e_1) = \phi(e_1\cdot e_1)=\phi(e_1)</tex>. Умножая с обеих сторон на обратный к <tex>\phi(e_1)</tex> элемент, получим: :<tex>\phi(e_1) \times \phi(e_1) \times (\phi(e_1))^{-1} = \phi(e_1) \times (\phi(e_1))^{-1}<br /tex>Следовательно, :<tex>\phi(e_1) \times e_2 = \phi(e_1) = e_2</tex>, что и требовалось доказать. Заметим, что доказательство опирается на существование обратного элемента, для [[Моноид | моноидов]] аналогичное утверждение неверно.
}}
{{Утверждение
что вместе с единственностью обратного к <tex>\phi(x)</tex> элемента означает <tex>\phi(x)^{-1}=\phi(x^{-1})</tex>.
}}
== См. также ==
* [[Циклическая группа]]
== Ссылки ==
* [[wikipedia:Group_homomorphism | Wikipedia {{---}} Group homomorphism]]
* [http://www.millersville.edu/~bikenaga/abstract-algebra-1/group-maps/group-maps.html Homomorphism examples]
[[Категория: Теория групп]]
