Алгоритм нахождения Гамильтонова цикла в условиях теорем Дирака и Оре

Описание алгоритма

Пусть у нас есть граф [math]\mathbb{G} = \left \langle \mathbb{V, E} \right \rangle[/math], удовлетворяющий условию теоремы Оре или теоремы Дирака, и требуется найти в нем гамильтонов цикл. Поступим следующим образом: заведем очередь и положим в нее все вершины нашего графа(не важно в каком порядке). Теперь [math]n = \left | \mathbb{V}\right |[/math] раз будем делать следующую операцию:

• Если между первой (здесь и далее первая вершина - вершина в голове очереди) и второй вершиной в очереди есть ребро в графе [math]\mathbb{G}[/math], то перемещаем первую вершину в конец очереди и переходим к следующей итерации.
• Если между первой и второй вершиной в очереди ребра нет, то найдем вершину [math]v_i[/math], такую что, ребра [math]v_1v_i, v_2v_{i+1} \in \mathbb{E}[/math] (так как у нас для графа выполнена либо теорема Оре, либо теорема Дирака, то такая вершина обязательно найдется; чуть позже мы это докажем явно). После чего поменяем в очереди местами вершины [math]v_2[/math] и [math]v_i[/math], [math]v_3[/math] и [math]v_{i-1}[/math], [math]v_{2+j} [/math] и [math]v_{i-j}[/math], и так далее, пока [math]2 + j \lt i - j[/math] (то есть [math]j[/math] пробегает все значения от 0 до значения заданного неравенством). Теперь у нас появилось ребро между первой и второй вершинами в очереди (теперь вторая вершина, это та, которая была до разворота на [math]i[/math]-й позиции), а так же, гарантированно существует ребро между [math]i[/math]-й и [math](i+1)[/math]-й вершинами очереди. После этого, так же как и в первом случае, оправляем первую вершину в конец очереди.

Таким образом после [math]n[/math] итераций, мы получаем последовательность (вершины лежащие в очереди), где любые 2 соседние вершины соединены ребром, все вершины графа находятся в этой последовательности, и более того, каждая ровно один раз, а так же существует ребро между последней и первой вершинами очереди, а это и значит, что мы решили поставленную задачу.

Псевдокод

for i = 1 to n // перебираем все вершины перестановки [math]P[/math] if [math] v_i v_{i+1} \notin \mathbb{E} [/math] // если нет ребра между [math]v_i v_{i+1} [/math] for [math]v_j \in \mathbb{V} \setminus \{v_i, v_{i + 1}\}[/math] // перебираем все остальные вершины if [math]v_i v_j \in \mathbb{E}\[/math] && [math] v_{i+1} v_{j+1} \in \mathbb{E}[/math] // если есть ребра [math]v_i v_j,\ v_{i+1} v_{j+1} [/math] reverse_subsequence([math]P, i+1, j[/math]) // разворачиваем часть перестановки [math]P[/math] от i+1 позиции до j break // переходим к следующей итерации внешнего for

Доказательство алгоритма

На [math]k[/math]-ой итерации внешнего цикла рассматриваются вершины [math]\mathrm{v}_k \mathrm{v}_{k+1}[/math]. Возможно 2 случая:

• между ними есть ребро, и тогда делать ничего не надо;
• между ними ребра нет, и тогда надо найти такую вершину [math]\mathrm{v}_j[/math], что [math]\mathrm{v}_k \mathrm{v}_j, \mathrm{v}_{k+1} \mathrm{v}_{j+1} \in \mathbb{E}[/math];

Покажем, что такая вершина обязательно найдется. Пусть [math]S= \{ i| \mathrm{e}_i = \mathrm{v}_k \mathrm{v}_i \in \mathbb{E}\} \subset \{1, 2, ...,n\} \setminus \{k,k+1\} [/math] и [math]T = \{ i| f_i=\mathrm{v}_k \mathrm{v}_{i+1} \in \mathbb{E} \} \subset \{1, 2, ...,n-1\} \setminus \{k\} [/math]. Тогда [math]S \cup T \subset \{1,2,...,n\} \setminus \{k\} [/math], откуда [math]|S \cup T |\lt n[/math]. Но [math]|S|+|T| = \operatorname{deg}\ v_1 + \operatorname{deg}\ v_2 \ge n[/math] по условию теоремы Оре или теоремы Дирака, в зависимости от наших начальных условий. А значит [math]S \cap T \ne \varnothing[/math], следовательно искомая вершина обязательно найдется. Теперь заметим, что после [math]k[/math]-ой итерации внешнего цикла между всеми парами вершин [math]\mathrm{v}_{i}, \mathrm{v}_{i+1}[/math], где [math]i \le k[/math] существует ребро, а значит после [math]n[/math] итераций мы найдем цикл.

Сложность алгоритма

Алгоритм работает за [math]O(n^2)[/math]. Действительно, количество итераций внешнего цикла [math]\mathrm{for}[/math] всегда равно [math]n[/math]. Во внутреннем цикле в худшем случае будет выполнено [math]n - 2[/math] итерации, получаем время работы [math]O(n^2)[/math].

См.также

• Гамильтоновы графы
• Теорема Оре
• Теорема Дирака