Алгоритм нахождения Гамильтонова цикла в условиях теорем Дирака и Оре — различия между версиями
(→Доказательство алгоритма) |
(→Доказательство алгоритма) |
||
| Строка 31: | Строка 31: | ||
Докажем первое. Рассмотрим множество <tex>S = \{i\mid v_1v_i \in \mathbb{E}\}</tex>, состоящее из вершин, смежных с <tex>v_1</tex>, и множество <tex>T = \{i+1 \mid v_2v_{i+1} \in \mathbb{E}\}</tex>, вершин смежных с <tex>v_2</tex>. Заметим, что <tex>S \subset \{3, 4,...,n\}</tex>, а <tex>T \subset \{2, 3,...,n - 1\}</tex>, тогда <tex>S\cup T\subset \{2, 3,...,n\} </tex>, а значит <tex>\left\vert S\cup T\right\vert \le n-1</tex>, в то же время <tex>\left\vert S \right\vert + \left\vert T \right\vert = \operatorname{deg} v_1 + \operatorname{deg} v_2 \ge n</tex> (по условию [[Теорема Оре|теоремы Оре]] или [[Теорема Дирака|теоремы Дирака]]). Из этого следует, что <tex>S\cap T\ne \varnothing</tex>, а это и значит, что искомая вершина существует. | Докажем первое. Рассмотрим множество <tex>S = \{i\mid v_1v_i \in \mathbb{E}\}</tex>, состоящее из вершин, смежных с <tex>v_1</tex>, и множество <tex>T = \{i+1 \mid v_2v_{i+1} \in \mathbb{E}\}</tex>, вершин смежных с <tex>v_2</tex>. Заметим, что <tex>S \subset \{3, 4,...,n\}</tex>, а <tex>T \subset \{2, 3,...,n - 1\}</tex>, тогда <tex>S\cup T\subset \{2, 3,...,n\} </tex>, а значит <tex>\left\vert S\cup T\right\vert \le n-1</tex>, в то же время <tex>\left\vert S \right\vert + \left\vert T \right\vert = \operatorname{deg} v_1 + \operatorname{deg} v_2 \ge n</tex> (по условию [[Теорема Оре|теоремы Оре]] или [[Теорема Дирака|теоремы Дирака]]). Из этого следует, что <tex>S\cap T\ne \varnothing</tex>, а это и значит, что искомая вершина существует. | ||
| − | Для доказательства второй части, достаточно заметить, что каждую итерацию алгоритма, мы, в случае отсутствия ребра, между <tex>v_2</tex> и <tex>v_{2}</tex> увеличиваем количество пар соседних в очереди вершин, между которыми есть ребро, как минимум на 1 (это прямое следствие условия поиска нужной вершины, в случае отсутствия ребра), а | + | Для доказательства второй части, достаточно заметить, что каждую итерацию алгоритма, мы, в случае отсутствия ребра, между <tex>v_2</tex> и <tex>v_{2}</tex> увеличиваем количество пар соседних в очереди вершин, между которыми есть ребро, как минимум на 1 (это прямое следствие условия поиска нужной вершины, в случае отсутствия ребра), а таких пар изначально не более <tex>n</tex>. Откуда следует, что после <tex>n</tex> итераций, второе условие будет выполнено. |
== Сложность алгоритма == | == Сложность алгоритма == | ||
Версия 21:08, 6 декабря 2013
Содержание
Описание алгоритма
Пусть у нас есть граф , удовлетворяющий условию теоремы Оре или теоремы Дирака, и требуется найти в нем гамильтонов цикл. Поступим следующим образом: заведем очередь и положим в нее все вершины нашего графа(не важно в каком порядке). Теперь раз будем делать следующую операцию:
- Если между первой (здесь и далее первая вершина - вершина в голове очереди) и второй вершиной в очереди есть ребро в графе , то перемещаем первую вершину в конец очереди и переходим к следующей итерации.
- Если между первой и второй вершиной в очереди ребра нет, то найдем вершину , где , такую что, ребра (так как у нас для графа выполнена либо теорема Оре, либо теорема Дирака, то такая вершина обязательно найдется; чуть позже мы это докажем явно). После чего поменяем в очереди местами вершины и , и , и , и так далее, пока (то есть пробегает все значения от 0 до значения заданного неравенством). Теперь у нас появилось ребро между первой и второй вершинами в очереди (теперь вторая вершина, это та, которая была до разворота на -й позиции), а так же, гарантированно существует ребро между -й и -й вершинами очереди. После этого, так же как и в первом случае, оправляем первую вершину в конец очереди.
Таким образом после итераций, мы получаем последовательность (вершины лежащие в очереди), где любые 2 соседние вершины соединены ребром, все вершины графа находятся в этой последовательности, и более того, каждая ровно один раз, а так же существует ребро между последней и первой вершинами очереди, а это и значит, что мы решили поставленную задачу.
Псевдокод
Queue queue; // создаем очередь
for i = 0 to n - 1 //
queue.pushback(v[i]) // добавляем в очередь все вершины графа
for k = 0 to n - 1 // пока не проделано нужное количество итераций
if !exist(queue.at(0), queue.at(1)) // проверяем существования ребра между первой и второй вершинами очереди
queue.swapSubQueue(2, find_vertex()) // если, не существует, то меняем порядок вершин в очереди, со второй до
// найденной, удовлетворяющей нас позиции
|
Доказательство алгоритма
Для доказательства корректности алгоритма достаточно показать:
- Каждый раз, когда нам надо искать вершину , где , такую что , такая вершина действительно существует.
- После итераций между каждой парой соседних вершин очереди существует ребро.
Докажем первое. Рассмотрим множество , состоящее из вершин, смежных с , и множество , вершин смежных с . Заметим, что , а , тогда , а значит , в то же время (по условию теоремы Оре или теоремы Дирака). Из этого следует, что , а это и значит, что искомая вершина существует.
Для доказательства второй части, достаточно заметить, что каждую итерацию алгоритма, мы, в случае отсутствия ребра, между и увеличиваем количество пар соседних в очереди вершин, между которыми есть ребро, как минимум на 1 (это прямое следствие условия поиска нужной вершины, в случае отсутствия ребра), а таких пар изначально не более . Откуда следует, что после итераций, второе условие будет выполнено.
Сложность алгоритма
Алгоритм работает за . Действительно, количество итераций внешнего цикла всегда равно . Поиск вершины, удовлетворяющей заданному условию тоже работает за , итого время работы .
