Алгоритмы на деревьях — различия между версиями
| Строка 2: | Строка 2: | ||
Алгоритм в этой статье находил диаметр в дереве,при чём очень простым алгоритмом. | Алгоритм в этой статье находил диаметр в дереве,при чём очень простым алгоритмом. | ||
| − | Алгоритм: | + | '''Алгоритм:''' |
Возьмём любую вершину V и найдём расстояния до всех других вершин. | Возьмём любую вершину V и найдём расстояния до всех других вершин. | ||
d = max{<tex> v </tex>,<tex> u </tex> <tex> \subset graph, </tex> <tex> v \ne u </tex>} dist(<tex> v, u </tex>) | d = max{<tex> v </tex>,<tex> u </tex> <tex> \subset graph, </tex> <tex> v \ne u </tex>} dist(<tex> v, u </tex>) | ||
| − | Возьмём вершину <tex> u </tex> такую,что d[u] >= d[t] для | + | Возьмём вершину <tex> u </tex> такую,что d[u] >= d[t] для любого t.Снова найдём расстояние до всех остальных вершин.Самое большое расстояние - диаметр дерева. |
Расстояние до остальных вершин удобно искать алгоритмом BFS. | Расстояние до остальных вершин удобно искать алгоритмом BFS. | ||
| − | Реализация: | + | '''Реализация:''' |
| Строка 29: | Строка 29: | ||
| − | Обоснование корректности: | + | '''Обоснование корректности:''' |
Будем пользоваться свойством,что в любом дереве >= 2 висячих вершин(степерь у них = 1) | Будем пользоваться свойством,что в любом дереве >= 2 висячих вершин(степерь у них = 1) | ||
Докажем вспомогательную лемму: | Докажем вспомогательную лемму: | ||
| Строка 46: | Строка 46: | ||
Таким образом мы доказали, что нам нужно взять наиглубочайшую вершину t после первого bfs, очевидно что ей в пару надо сапоставить вершину p , что dist(t, p) - max . Очевидно, что проблема решается запуском bfs из t. | Таким образом мы доказали, что нам нужно взять наиглубочайшую вершину t после первого bfs, очевидно что ей в пару надо сапоставить вершину p , что dist(t, p) - max . Очевидно, что проблема решается запуском bfs из t. | ||
| − | Оценка производительности: | + | '''Оценка производительности:''' |
Все операции кроме bfs - О(1) | Все операции кроме bfs - О(1) | ||
BFS работает линейное время,запускаем мы его 2 раза.Получаем O(V+E) | BFS работает линейное время,запускаем мы его 2 раза.Получаем O(V+E) | ||
Версия 19:17, 11 декабря 2013
Диаметр дерева - максимальная длина кратчайшего пути между любыми двумя вершинами. Алгоритм в этой статье находил диаметр в дереве,при чём очень простым алгоритмом.
Алгоритм: Возьмём любую вершину V и найдём расстояния до всех других вершин.
d = max{, } dist()
Возьмём вершину такую,что d[u] >= d[t] для любого t.Снова найдём расстояние до всех остальных вершин.Самое большое расстояние - диаметр дерева. Расстояние до остальных вершин удобно искать алгоритмом BFS.
Реализация:
void diameter(graph g)
{
v = u = w = 0;
bfs(v); // заполняет массив d[n] расстояниями до всех вершин.
for(i = 0; i < n; i++)
if (d[i] > d[u])
u = i;
bfs(u);
for(i = 0; i < n; i++)
if (d[i] > d[w])
w = i;
return d[w];
}
Обоснование корректности:
Будем пользоваться свойством,что в любом дереве >= 2 висячих вершин(степерь у них = 1)
Докажем вспомогательную лемму:
Искомое расстояние - есть расстояние между двумя листами.
Доказательство: пусть нет, пусть искомое расстояние - есть расстояние между вершина a, b, где b - не является листом.Т.к. b не является листом, то значит её степень > 1 => из неё существует ребро в непосещенную вершину (дважды посетить вершину b мы не можем). Лемма доказана.
Запустив BFS от произвольной вершины. Мы получим дерево BFS. Теорема. В дереве BFS не существует ребер между вершинами из разных поддеревьев некоторого из общего предка. Доказательство как про дерево DFS.
Мы свели задачу к нахождению вершины v, такой, что сумма глубин поддеревьев максимальна.
Докажем, что одно из искомых поддеревьев содержит самый глубокий лист. Пусть нет, тогда взяв расстояние от v до глубочайшего листа мы можем улучшить ответ.
Таким образом мы доказали, что нам нужно взять наиглубочайшую вершину t после первого bfs, очевидно что ей в пару надо сапоставить вершину p , что dist(t, p) - max . Очевидно, что проблема решается запуском bfs из t.
Оценка производительности: Все операции кроме bfs - О(1) BFS работает линейное время,запускаем мы его 2 раза.Получаем O(V+E)
