Рефлексивное отношение

Бинарное отношение [math]R[/math] на множестве [math]X[/math] называется рефлексивным, если всякий элемент этого множества находится в отношении [math]R[/math] с самим собой.

Определение:

Отношение [math]R[/math] называется рефлексивным (англ. reflexive relation), если [math]\forall a \in X:\ (a R a)[/math].

Свойство рефлексивности при отношениях, заданных графом, состоит в том, что каждая вершина имеет петлю — дугу (x, x), а матрица смежности этого графа на главной диагонали имеет единицы.

Если это условие не выполнено ни для какого элемента множества [math]X[/math], то отношение [math]R[/math] называется антирефлексивным.

Определение:

Отношение [math]R[/math] называется антирефлексивным (англ. irreflexive relation), если [math]\forall a \in X:\ \neg (a R a)[/math].

Если антирефлексивное отношение задано графом, то ни у одной вершины не будет петли — дуги (x, x), а в матрице смежности на главной диагонали будут нули.

Примеры рефлексивных отношений

• Отношения эквивалентности:
  • отношение равенства [math]=\;[/math]
  • отношение сравнимости по модулю
  • отношение параллельности прямых и плоскостей
  • отношение подобия геометрических фигур
• Отношения частичного порядка:
  • отношение нестрогого неравенства [math]\leqslant[/math]
  • отношение нестрогого подмножества [math] \subseteq [/math]
  • отношение делимости [math]\,\vdots\,[/math]
• Отношение "иметь одинаковый цвет волос"
• Отношение "принадлежать одному виду"

Примеры антирефлексивных отношений

• отношение строгого неравенства [math]\lt [/math]
• отношение строгого подмножества [math]\subset[/math]
• отношение "быть родителем"

Источники

• Wikipedia | Рефлексивное отношение
• Wikipedia | Reflexive relation