Алгоритм Хаффмана для n ичной системы счисления — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Задача о подсчете числа бит)
(Задача о подсчете числа бит)
Строка 55: Строка 55:
 
       <math>\mathrm{sum}</math> = 0
 
       <math>\mathrm{sum}</math> = 0
 
       sort(<math>\mathrm{a}</math>)              ''//сортируем массив по возрастанию''
 
       sort(<math>\mathrm{a}</math>)              ''//сортируем массив по возрастанию''
        do
+
      do
            for <math>\mathrm{i}</math> = 1..<math>\mathrm{n}</math>
+
        for <math>\mathrm{i}</math> = 1..<math>\mathrm{n}</math>
              find(<math>\mathrm{min1}</math>,<math>\mathrm{min2}</math>)          ''//отыскиваем индексы двух минимальных элементов массива
+
          find(<math>\mathrm{min1}</math>,<math>\mathrm{min2}</math>)          ''//отыскиваем индексы двух минимальных элементов массива
            swap(<math>\mathrm{a}</math>[1],<math>\mathrm{a}</math>[min1])         
+
        swap(<math>\mathrm{a}</math>[1],<math>\mathrm{a}</math>[min1])         
            swap(<math>\mathrm{a}</math>[2],<math>\mathrm{a}</math>[min2])        ''//теперь первые два элемента массива минимальные''
+
        swap(<math>\mathrm{a}</math>[2],<math>\mathrm{a}</math>[min2])        ''//теперь первые два элемента массива минимальные''
            <math>\mathrm{a}</math>[2] = <math>\mathrm{a}</math>[1] + <math>\mathrm{a}</math>[2]
+
        <math>\mathrm{a}</math>[2] = <math>\mathrm{a}</math>[1] + <math>\mathrm{a}</math>[2]
            <math>\mathrm{sum}</math> =+ <math>\mathrm{a}</math>[2]
+
        <math>\mathrm{sum}</math> += <math>\mathrm{a}</math>[2]
            <math>\mathrm{n}</math>--
+
        <math>\mathrm{n}</math>--
            delete(<math>\mathrm{a}</math>[1])          ''//убираем из массива ненужный элемент и больше его не рассматриваем''  
+
        delete(<math>\mathrm{a}</math>[1])          ''//убираем из массива ненужный элемент и больше его не рассматриваем''  
        while <math>\mathrm{n}</math> != 1              ''//пока не останется одна частота в массиве''
+
      while <math>\mathrm{n}</math> != 1              ''//пока не останется одна частота в массиве''
 
       '''return''' <math>\mathrm{sum}</math>
 
       '''return''' <math>\mathrm{sum}</math>

Версия 19:24, 19 декабря 2013

Алгоритм

Для построения [math]n[/math]-ичного кода Хаффмана надо использовать операцию сжатия алфавита, при которой каждый раз сливаются не две, а [math]n[/math] букв исходного алфавита, имеющих наименьшие вероятности.Сжатие алфавита, при котором [math]n[/math] букв заменяются на одну, приводит к уменьшению числа букв на [math]n-1[/math]; так как для построения [math]n[/math]-ичного кода, очевидно, требуется, чтобы последовательность сжатий в конце концов привела нас к алфавиту из [math]n[/math] букв (сопоставляемых [math]n[/math] сигналам кода), то необходимо, чтобы число [math]m[/math] букв первоначального алфавита было представимо в виде [math]m = n + k(n - 1)[/math] ,[math]k \in \mathbb{Z}[/math]. Этого, однако, всегда можно добиться, добавив, если нужно, к первоначальному алфавиту еще несколько фиктивных букв, вероятности которых считаются равными нулю. После этого построение [math]n[/math]-ичного кода Хаффмана проводится уже точно так же, как и в случае двоичного кода.

Пример

Для примера возьмём слово "кириллица".Возьмем [math]n=3[/math] (троичная система счисления).Алфавит будет [math]A= \{[/math] к, и, р, л, ц, а [math]\} [/math], а набор весов [math]W=\{1, 3, 1, 2, 1, 1\}[/math]. Будем действовать согласно алгоритму выше;у нас число букв первоначального алфавита [math]m[/math] равно 6.Если подставить значения [math]n[/math] и [math]m[/math] в формулу для оптимального кодирования [math]m = n + k(n - 1)[/math] ,то получится что [math]k[/math] не является целым.Но если увеличить число [math]m[/math] на 1 (добавлением фиктивной буквы "я" с весом 0) , то можно подобрать целое [math]k[/math] равное 2. Таким образом можно записать:

Узел к и р л ц а я
Вес 1 3 1 2 1 1 0

По алгоритму возьмем три символа с наименьшей частотой — это я,к,р. Сформируем из них новый узел якр весом 2 и добавим его к списку узлов:

Узел якр и л ц а
Вес 2 3 2 1 1

Затем объединим в один узел узлы л,ц,а:

Узел якр и лца
Вес 2 3 4

И, наконец, объединяем три узла якр,и,лца. Итак, мы получили дерево Хаффмана и соответствующую ему таблицу кодов:

Символ к и р л ц а я
Код +- - +0 00 0+ 0- ++

Таким образом, закодированное слово "кириллица" будет выглядеть как "+--+0-0000-0+0-". Длина закодированного слова — 15 бит. Стоит заметить, что если бы мы использовали для кодирования каждого символа из шести по 2 бита, длина закодированного слова составила бы 18 бит.

Корректность алгоритма Хаффмана для [math]n[/math]-ичной системы счисления

Доказательство аналогично тому,что представлено в теме алгоритм Хаффмана.Только вместо двух символом с минимальными частотами надо брать [math]n[/math] символов с минимальными частотами (по алгоритму вес символа также может равняться 0).

Задача о подсчете числа бит

Имеются частоты символов,встречающихся в исходном тексте.Необходимо подсчитать суммарное число бит,необходимое для кодирования этого текста.

Возьмем [math]sum=0[/math].На каждом шаге выбираем две наименьшие частоты,объединяем их сумму в одну частоту и добавляем в список вместо двух исходных.Новую частоту прибавляем к [math]sum[/math] с присваиванием.Шаги заканчиваются тогда,когда в списке останется только одна частота.

В-итоге,[math]sum[/math]-число бит необходимое для кодирования этого текста

Сложность алгоритма [math]O(n^2)[/math].

Псевдокод алгоритма:

     int [math]\mathrm{a[1..n]}[/math]      //исходный массив частот всех n символов,встречающихся в тексте"
     [math]\mathrm{sum}[/math] = 0
     sort([math]\mathrm{a}[/math])               //сортируем массив по возрастанию
     do
       for [math]\mathrm{i}[/math] = 1..[math]\mathrm{n}[/math]
          find([math]\mathrm{min1}[/math],[math]\mathrm{min2}[/math])          //отыскиваем индексы двух минимальных элементов массива
       swap([math]\mathrm{a}[/math][1],[math]\mathrm{a}[/math][min1])         
       swap([math]\mathrm{a}[/math][2],[math]\mathrm{a}[/math][min2])         //теперь первые два элемента массива минимальные
       [math]\mathrm{a}[/math][2] = [math]\mathrm{a}[/math][1] + [math]\mathrm{a}[/math][2]
       [math]\mathrm{sum}[/math] += [math]\mathrm{a}[/math][2]
       [math]\mathrm{n}[/math]--
       delete([math]\mathrm{a}[/math][1])          //убираем из массива ненужный элемент и больше его не рассматриваем 
     while [math]\mathrm{n}[/math] != 1               //пока не останется одна частота в массиве
     return [math]\mathrm{sum}[/math]