63
правки
Изменения
Нет описания правки
<br>
Теперь возведем обе части сравнения (1) в степень <tex>\frac{p-1}{2}</tex>. Получим <tex>x^{p-1}=a^{\frac{p-1}{2}} (mod ~p)</tex>. Но <tex>x^{p-1}=1(mod ~p)</tex>, значит если <tex>a</tex> удовлетворяет сравнению (1), то выполняется и сравнение (2). Рассмотрим последовательность чисел <tex>1,~2,~\dots ,~ p-1</tex>, или, что то же самое, <tex>1,~2,~\dots,~\frac{p-1}{2},~ \frac{p+1}{2}-1,~\dots,~p-1</tex>. Очевидно, что <tex>1^2\equiv (p-1)^2,~ 2^2\equiv (p-2)^2,~\dots (\frac{p-1}{2})^2 \equiv (\frac{p+1}{2})^2</tex> по модулю <tex>p</tex>. Значит существует только <tex>\frac{p-1}{2}</tex> различных квадратов чисел по модулю <tex>p</tex>. Обозначим их <tex>a_1,~a_2,~\dots,~a_{\frac{p-1}{2}}</tex>. Если <tex>a</tex> равно любому <tex>a_i</tex>, то сравнение (1) имеет решение, следовательно сравнение (2) так же выполняется для всех <tex>a_i</tex>. Но сравнение (2) не может иметь более <tex>\frac{p-1}{2}</tex> различных решений, следовательно оно имеет ровно столько решений. Отсюда же следует, что и сравнение (3) имеет ровно <tex>\frac{p-1}{2}</tex> различных решений, и при <tex>a</tex>, равном любому из этих решений, сравнение (1) решений не имеет.
}}
{{Утверждение
|id=prop1
|statement=Произведение двух квадратичных вычетов будет вычетом, двух невычетов — вычетом, вычета и невычета — невычетом.
|proof=
<tex>(\frac{a\cdot b}{p})=(a\cdot b)^{\frac{p-1}{2}}=a^{\frac{p-1}{2}}\cdot b^{\frac{p-1}{2}}=(\frac{a}{p})\cdot (\frac{b}{p})</tex>. Зная, что <tex>1\cdot 1=1,~(-1)\cdot(-1)=1, ~ 1 \cdot (-1)=-1</tex>, получаем требуемое.
}}
