Алгоритмы на деревьях

Диаметр дерева - максимальная длина (в рёбрах) кратчайшего пути между любыми двумя вершинами. Алгоритм в этой статье находит диаметр в дереве.

Пусть дан граф $G = \lt V, E\gt$ Тогда диаметром $d$ называется $\max\limits_{u, v \in V} dist(v, u)$, где $dist$ — кратчайшее расстояние между вершинами

Алгоритм

Возьмём любую вершину $v$ и найдём расстояния до всех других вершин.

$d = \min{ v , u \subset graph, v \ne u \}$ $dist(v, u)$

Возьмём вершину $u$ такую,что $d[u] \ge d[t]$ для любого $t$.Снова найдём расстояние от $u$ до всех остальных вершин.Самое большое расстояние — диаметр дерева. Расстояние до остальных вершин будем искать алгоритмом $BFS$.

Реализация

int diameterTree(graph g)              
{
    v = u = w = 0;
    d = bfs(g,v); 
    for(i = 0; i < n; i++)
         if (d[i] > d[u])
              u = i;
    bfs(g,u);
    for(i = 0; i < n; i++)
          if (d[i] > d[w])
               w = i;
    return d[w];
}

Обоснование корректности

Будем пользоваться свойством,что в любом дереве больше одного листа.Исключительный случай-дерево из одной вершины,но алгоритм сработает верно и в этом случае.

Теорема:

Искомое расстояние - есть расстояние между двумя листами.

Доказательство:

$\triangleright$

Пусть искомое расстояние - есть расстояние между вершинами $a,b$ где $b$ - не является листом. Т.к. b не является листом, то значит её степень $\gt$ 1 => из неё существует ребро в непосещенную вершину (дважды посетить вершину $b$ мы не можем). Лемма доказана.

$\triangleleft$

После запуска алгоритма получим дерево $BFS$.

Теорема:

В дереве BFS не существует ребер между вершинами из разных поддеревьев некоторого их общего предка.

Доказательство:

$\triangleright$

Предположим существует ребро $u,v$ между соседними поддеревьями: Рассмотрим первую вершину в которую приведет наш алгоритм, предположим это вершина $u$, тогда в ходе рассмотрения всех смежных вершин $u$ мы добавим в список вершину $v$, тем самым исключив возможность попадания их в разные поддеревья.

$\triangleleft$

Мы свели задачу к нахождению вершины $w$, такой, что сумма глубин поддеревьев максимальна.

Докажем, что одно из искомых поддеревьев содержит самый глубокий лист. Пусть нет, тогда взяв расстояние от $w$ до глубочайшего листа мы можем улучшить ответ.

Таким образом мы доказали, что нам нужно взять вершину $u$ с наибольшей глубиной после первого $bfs$, очевидно что ей в пару надо сопоставить вершину $w$ , что $dist(u, w)$ — максимально. Очевидно, что проблема решается запуском bfs из $u$.

Оценка производительности

Все операции кроме $BFS$ — $O(1)$. $BFS$ работает линейное время,запускаем мы его 2 раза.Получаем $O(V + E)$.