48
правок
Изменения
Нет описания правки
{{Определение
|definition = '''Комбинаторные объекты''' ''(combinatorial objects)'' — это конечные множества, на элементы которых могут накладываться определённые ограничения, такие как: различимость или неразличимость элементов, возможность повторения одинаковых элементов и т. п.}}
{{Определение
|definition = '''Упорядоченным множеством''' называется множество, на элементах которого установлено отношение, обладающее следующими свойствами:
1. Для любых двух элементов <tex>a</tex> и <tex>b</tex> данного множества существует только одно из следующих соотношений:
<tex>a < b, ~a > b, ~a = b</tex>
2. Для любых трех элементов данного множества <tex>a, b, c</tex>: <tex>~(a < b</tex> & <tex>b < c) => a < c</tex>
}}
== Примеры комбинаторных объектов ==
* '''Битовые вектора''' — последовательность нулей и единиц заданной длины.
* '''Сочетания''' из ''n'' по ''k'' — это набор ''k'' элементов, выбранных из данных ''n'' элементов.
* '''Размещение''' из ''n'' по ''k'' — это упорядоченный набор из ''k'' различных элементов некоторого n-элементного множества.
* '''Разбиение''' числа '''на неупорядоченные слагаемые''' — это представление числа ''n'' в виде суммы слагаемых.
* '''Разбиение''' множества <math>X</math> на '''подмножества''' называется семейство непустых множеств <math>\{U_{\alpha}\},{\alpha \in A}</math>, где <math>A</math> — некоторое множество индексов, если:
# <math>U_{\alpha} \cap U_{\beta} = \emptyset</math> для любых <math>\alpha, \beta \in A</math>, таких что <math>\alpha \not= \beta</math>;
Метод рекуррентных соотношений состоит в том, что решение комбинаторной задачи с ''n'' предметами выражается через решение аналогичной задачи с меньшим числом предметов с помощью некоторого соотношения, которое называется рекуррентным. Пользуясь этим соотношением, искомую величину можно вычислить, исходя из того, что для небольшого количества предметов (одного, двух) решение задачи легко находится.
'''Количество разбиений числа на неупорядоченные слагаемые'''
Пусть <tex>n</tex> - число, которое мы разбиваем, а <tex>t</tex> - максимальное слагаемое в разбиении, тогда количество разбиений числа на слагаемые удовлетворяет рекуррентному соотношению:
