Задача об ожерельях

Определение:

Требуется посчитать количество ожерелий из [math]n[/math] бусинок, каждая из которых может быть покрашена в один из [math] k [/math] цветов. При сравнении двух ожерелий их можно поворачивать, но не переворачивать (т.е. разрешается сделать циклический сдвиг).

Решение этой задачи опирается на лемму Бёрнсайда и теорему Пойа.

Алгоритм решения задачи про ожерелья

Пусть нам даны бусинки [math]k[/math] различных цветов, а ожерелье должно состоять из [math]n[/math] бусинок.

Для решения воспользуемся формулой из теоремы Пойа.

[math]|C| =[/math] [math] \frac{1} {|G|}[/math][math]\sum\limits_{l \in G} k^{P(l)}[/math]

По условию, перестановкой инвариантной данной будет любая перестановка, полученная из данной циклическим сдвигом. Очевидно, что для каждой перестановки длины [math]n[/math] существует ровно [math]n - 1[/math] инвариантная перестановка, то есть всего инвариантных перестановок в каждом классе [math]n[/math], теперь найдем [math]P(i)[/math]. Заметим, что в [math]i[/math]-ой перестановке на [math]l[/math]-ой позиции стоит элемент [math](i + l)\bmod n[/math]. Также, заметим, что элемент [math]a[/math] переходит в элемент [math]a + in[/math], где [math]i = 1, 2, ... k[/math]. Из этого следует, что длина цикла для [math]i[/math]-ой перестановки равна [math] \mathrm{lcm}(n, i)/i = n/\mathrm{gcd}(i,n)[/math]. Откуда следует что:

[math]|C| =[/math] [math] \frac{1} {n}[/math][math]\sum\limits_{i = 1}^{n} k^{\mathrm{gcd}(i,n)}[/math].

где [math]|C|[/math] - кол-во различных ожерелий,которые можно составить из [math]n[/math] бусинок [math]k[/math] различных цветов.

Алгоритм решения задачи про ожерелья с отражениями

Пусть теперь ожерелья считаются одинаковыми, если они не только переходят друг в друга поворотом, но и отражением относительно некоторой оси (ось может проходить через две противоположные бусинки в чётном случае и через бусинку и пустоту напротив неё в нечётном случае). Такие ожерелья называются bracelets. Будем пользоваться леммой Бёрнсайда. Разберём два случая.

Для начала покажем, что в качестве операций требуется рассматривать только повороты и отражения.

• Поворот и отражение - отражение.

Занумеруем наши бусинки по часовой стрелке. Поворот и отражение не меняют порядка (в каком-то направлении бусинки занумерованы по порядку). Нетрудно понять, что отражение меняет направление обхода наших бусинок и не меняет порядка. Если мы сначала сделаем поворот, а потом отразим относительно какой-нибудь оси, то мы то самое же можем получить и обыкновенным отражением. Надо просто найти такую ось, что вернёт первую бусинку на своё место, вместе с этим и поменяется и направление обхода, что вернёт всё на своё место, то есть отразив изначально относительно данной оси мы бы получили данное ожерелье. Такая ось найдётся, потому что всегда можно выбрать такую ось, что поставит нужную нам бусинку в любое место, поменяв направление обхода (если перебирать все оси подряд, начиная с оси, проходящей через нужную нам бусинку, то изначально она останется на своём месте, потом сместится на одно место, потом на два и.т.д.). Поэтому поворот и отражение не добавляет нам новой операции.

• Отражение и поворот - отражение.

Аналогичные рассуждения.

• Отражение и отражение - поворот.

Тут мы дважды меняем направление обхода, но не меняем порядка. Поэтому данная операция заменяется обычным поворотом.

Пусть число бусинок нечётное, тогда мы имеем [math]n[/math] осей, проходящих через каждую бусинку. Рассмотрим одну ось. Возьмём половину бусинок с одной стороны от оси и ту бусинку, через которую проходит данная ось. Мы можем окрасить их в произвольные цвета, а остальная половина по ним однозначно восстановится. Таким образом количество неподвижных точек для одной оси будет [math]k^{\frac{n + 1}{2}}[/math]. Операций в группе будет в два раза больше, чем было: [math]2n[/math] ([math]n[/math] сдвигов и [math]n[/math] отражений).

По Лемме Бёрнсайда: [math] |B| = [/math] [math]\frac{1} {|G|}[/math][math]\sum\limits_{k \in G}I(k)[/math]

[math] |G| = 2n[/math]. Первые [math]n[/math] операций - повороты, и сумма количества их неподвижных точек, делённая на [math]2n[/math], принимает значение [math]\frac{|C|} {2}[/math], где [math]|C|[/math] - количество ожерелий из [math]n[/math] бусинок [math]k[/math] различных цветов без отражений (задача выше) т.к. деление в задаче без отражений происходило на [math]n[/math], а здесь на [math]2n[/math]. Следующие [math]n[/math] операций - отражения. У каждой такой операции [math]k^{\frac{n + 1}{2}}[/math] неподвижных точек. Поэтому сумма получается [math]k^{\frac{n + 1}{2}}n[/math].

[math]|B| = \frac{|C|}{2} + \frac{1}{2n}k^{\frac{n + 1}{2}}n = \frac{|C|}{2} + \frac{1}{2}k^{\frac{n + 1}{2}} [/math]

Разберём теперь чётный случай. Тут мы имеем [math]\frac{n}{2}[/math] осей, проходящих через пустоты между бусинками (ось можно провести через пустоту после каждой бусинки, но половина из них будет повторяться). В таких вот случаях можно выбрать по [math]\frac{n}{2}[/math] бусинок и дать им произвольные цвета. Остальная половина восстановится по ним. Таким образом для данных осей количество неподвижных точек будет [math]k^{\frac{n}{2}}[/math]. Ещё у нас есть [math]\frac{n}{2}[/math] осей, проходящих через бусинки. В данных случаях мы можем выбрать по [math]\frac{n}{2} + 1[/math] бусинок (бусинки на оси и все по одну какую-то сторону от неё). То есть будет [math]k^{\frac{n}{2} + 1}[/math] неподвижных точек. Операций также [math]2n[/math].

По Лемме Бёрнсайда:

[math]|B| = \frac{|C|}{2} + \frac{1}{2n}(\frac{n}{2}k^{\frac{n}{2}} + \frac{n}{2}k^{\frac{n}{2} + 1}) = \frac{|C|}{2} + \frac{1}{4}k^{\frac{n}{2}}(k + 1)[/math]

См. также

• Лемма Бёрнсайда и Теорема Пойа
• Necklace (combinatorics)