Теорема о существовании простого пути в случае существования пути

Теорема:

Если между двумя вершинами графа существует путь, то между ними существует простой путь.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Для доказательства этой теоремы введём два определения. Определение: Простой (вершинно-простой) путь между двумя вершинами графа – путь между ними, в котором каждая из вершин графа встречается не более одного раза. Определение: Длина пути – количество рёбер, входящих в последовательность, задающую этот путь. Доказательство построением Возьмём любой из существующих путей между нужными нам вершинами: [math]V_0E_1V_1E_2V_2 ... E_nV_n[/math]. Алгоритм: 1. Для вершины [math]V_i[/math] найдём момент её последнего вхождения в путь – [math]V_j[/math]. 2. Удалим отрезок пути от [math]E_{i+1}[/math] до [math]V_j[/math], включительно. Получившаяся последовательность вершин и рёбер графа останется путём от [math]V_0[/math] до [math]V_n[/math], и в нём вершина [math]V_i[/math] будет содержаться ровно один раз. Начнём процесс с вершины [math]V_0[/math] и будем повторять его каждый раз для следующей вершины нового пути, пока не дойдём до последней. По построению, получившийся путь будет содержать каждую из вершин графа не более одного раза, а значит, будет простым. Альтернативное Выберем из всех путей между данными вершинами путь наименьшей длины. Предположение: Пусть он не простой. Тогда в нём содержатся две одинаковые вершины [math]V_i = V_j[/math], [math]i \lt j[/math]. Удалим из исходного пути отрезок от [math]E_{i+1}[/math] до [math]V_j[/math], включительно. Конечная последовательность также будет путём от [math]V_0[/math] до [math]V_n[/math] и станет короче исходной. Получено противоречие с условием: взятый нами путь оказался не кратчайшим. Значит, предположение неверно, выбранный путь – простой.

[math]\triangleleft[/math]

Замечания

• Так как вершинно-простой путь всегда является рёберно-простым, данная теорема справедлива и для рёберно-простого пути.
• Теорема может быть сформулирована как для ориентированного, так и для неориентированного графа.