Перечисление точек в произвольном прямоугольнике за n * log ^(d - 1) n (range tree)

Конспект готов к прочтению.

Рассмотрим задачу хранения множества точек d-мерного пространства с возможностью перечисления точек, содержащихся в d-мерном прямоугольнике запроса. Эту задачу решает range-tree.

Постановка задачи

Пусть дано пространство [math]X[/math], являющееся произведением [math]d[/math] линейных порядков: [math]X = X_1 \times X_2 \times \hdots \times X_d[/math].

Отрезком в линейно упорядоченном множестве называется множество [math][a, b] = \{x | a \leq x \leq b\}[/math].

Прямоугольником в пространстве [math]X[/math] назовем произведение отрезков из [math]X_1 \hdots X_d[/math]: [math]I = [a_1, b_1] \times [a_2, b_2] \times \hdots \times [a_d, b_d][/math], где [math]a_i, b_i \in X_i[/math].

Задача состоит в построении динамической структуры данных, хранящей точки пространства X и способной эффективно отвечать на запросы по перечислению множества точек, лежащих внутри прямоугольника запроса.

Одномерный случай

Для начала рассмотрим задачу в случае [math]d = 1[/math].

Заметим, что в этом случае точками пространства являются просто элементы некого линейного порядка.

Будем использовать сбалансированное бинарное дерево поиска, в листьях которого будем хранить точки искомого множества, а в нелистовых вершинах - разделющие значения, по которым будет вестись поиск в дереве.

Запрос задачи в одномерном случае превращается в перечисление множества значений, лежащих в отрезке запроса [math][a, b][/math].

Алгоритм, перечисляющий элементы дерева, входящие в отрезок запроса:

• Запустить обычный поиск в двоичном дереве элементов [math]a[/math] и [math]b[/math], остановившись в последней общей вершине пути из корня; назовем эту вершину [math]v[/math].
• Продолжить поиск элемента [math]a[/math] из вершины [math]v[/math]. При этом при каждом переходе к левому ребенку добавлять правое поддерево текущей вершины к ответу. Проверить последнюю вершину (лист) на вхождение в отрезок запроса и в случае необходимости добавить лист в ответ.
• Аналогично, продолжить поиск элемента [math]b[/math] из вершины [math]v[/math]. При каждом переходе к правому ребенку добавлять левое поддерево к ответу. Аналогично проверить последнюю вершину в пути.

Здесь "добавить поддерево к ответу" означает пройти по поддереву целиком и каждый лист добавить к ответу.

Несложно понять, что описанный алгоритм действительно решает поставленную задачу за время [math]O(\log n + k)[/math], где [math]n[/math] - количество элементов в дереве, [math]k[/math] - размер ответа.

Многомерный случай

Теперь рассмотрим общий, многомерный случай задачи. Для её решения будем использовать структуру данных под названием range-tree.

Дадим следующее рекурсивное определение range-tree:

• Одномерное range-tree — просто дерево поиска, описанное выше.
• [math]d[/math]-мерное range-tree — дерево поиска (по первой координате [math]X_1[/math]), аналогичное описанному выше, но в каждой вершине дополнительно хранящее [math]d-1[/math]-мерное range-tree (по остальным координатам [math]X_2 \times \hdots \times X_d[/math]) для множества элементов, являющихся листами поддерева этой вершины.

Запрос на выдачу точек, принадлежащих некому прямоугольнику, выполняется следующим образом:

• Выполнить описанную выше процедуру поиска элементов отрезка для проекции прямоугольника запроса на [math]X_1[/math].
• При добавлении поддерева к ответу:
  • Если текущая координата - последняя, выдать все листы поддерева в качестве ответа
  • Если текущая координата - не последняя, перейти к сохраненному в корне поддерева range-tree по следующим координатам и повторить тот же алгоритм.

Таким образом, алгоритм сначала найдет по первой координате некоторый набор поддеревьев, потом выполнит поиск по второй координате внутри этих поддеревьев, и так далее.

Оценка времени работы и потребляемой памяти

Фаза алгоритма, обрабатывающая одну координату, может выдать [math]O(\log n)[/math] поддеревьев высотой [math]O(\log n)[/math], каждое из которых будет обработано фазой по следующей координате, и т.д. Таким образом, время запроса - [math]O(\log^d n + k)[/math], где k - размер ответа (количество точек ответа).

Докажем по индукции оценку в [math]O(n \log^{d-1} n)[/math] для потребляемой памяти для структуры range-tree.

[math]d = 1[/math]: в одномерном случае range-tree является обычным деревом, оценка в [math]O(n \log^0 n) = O(n)[/math] очевидна.

[math]d \gt 1[/math]: очевидно, что основным слагаемым в оценке потребляемой памяти будут не сами хранимые элементы, а range-tree меньшей размерности, хранимые в каждой вершине, которые по индукционному предположению занимают [math]O(n \log^{d-2} n)[/math] памяти. Просуммируем размеры этих range-tree (суммирование по расстоянию до вершины от корня): [math]\sum_{k=1}^{\log n} 2^k O(\frac{n}{2^k} \log^{d-2} \frac{n}{2^k}) = \sum_{k=1}^{\log n} O(n \log^{d-2} n) = O(n \log^{d-1} n)[/math]. QED.