Основные определения: алфавит, слово, язык, конкатенация, свободный моноид слов; операции над языками

Базовые определения

Определение:

Алфавит (англ. alphabet) — конечное непустое множество элементов, называемых символами (англ. symbols). Условимся обозначать алфавит большой греческой буквой [math]\Sigma[/math].

Наиболее часто используются следующие алфавиты:

1. [math]\Sigma=\{0, 1\}[/math] — бинарный или двоичный алфавит.
2. [math]\Sigma=\{a, b, ...,z\}[/math] — множество строчных букв английского алфавита.

Определение:

Слово (англ. string) или цепочка — конечная последовательность символов некоторого алфавита.

Определение:

Пустая цепочка (англ. empty string) — цепочка, не содержащая ни одного символа. Эту цепочку, обозначаемую [math] \varepsilon [/math], можно рассматривать как цепочку в любом алфавите.

Определение:

Длина цепочки (англ. string length) — число символов в цепочке. Длину некоторой цепочки [math]w[/math] обычно обозначают [math]|w|[/math].

Определение:

[math]\Sigma^k[/math] — множество цепочек длины [math]k[/math] над алфавитом [math]\Sigma[/math].

Определение:

[math]\Sigma^* = \bigcup \limits _{k=0}^\infty \Sigma^k[/math] — множество всех цепочек над алфавитом [math]\Sigma[/math].

Определение:

Язык (англ. language) над алфавитом [math]\Sigma[/math] — некоторое подмножество [math]\Sigma^*[/math]. Иногда такие языки называют формальными (англ. formal), чтобы подчеркнуть отличие от языков в привычном смысле.

Отметим, что язык в [math]\Sigma[/math] не обязательно должен содержать цепочки, в которые входят все символы [math]\Sigma[/math]. Поэтому, если известно, что [math]L[/math] является языком над [math]\Sigma[/math], то можно утверждать, что [math]L[/math] — это язык над любым алфавитом, являющимся надмножеством [math]\Sigma[/math].

Определение:

Пусть [math]x, y \in \Sigma^*[/math]. Тогда [math] x \cdot y [/math] или [math] xy [/math] обозначает их конкатенацию (англ. concatenation), т.е. цепочку, в которой последовательно записаны цепочки [math] x [/math] и [math] y [/math].

Множество строк с операцией конкатенации образует свободный моноид.

Операции над языками

Пусть [math]L[/math] и [math]M[/math] — языки. Тогда над ними можно определить следующие операции.

1. Теоретико-множественные операции:
   • [math]L \cup M[/math] — объединение,
   • [math]L \cap M [/math] — пересечение,
   • [math]L \setminus M[/math] — разность,
   • [math]\overline{L}=\Sigma^* \setminus L[/math] — дополнение.
2. Конкатенация: [math]LM=\left\{\alpha\beta|\alpha \in L, \beta \in M\right\}[/math].
3. Конкатенация с обратным языком: [math]LR^{-1} = \{ w \mid \exists y \in R : wy \in L\}[/math]; конкатенация с обратным словом: [math]Ly^{-1} = L\{y\}^{-1}, y \in \Sigma^*[/math].
4. Степень языка: [math]L^k=\begin{cases} \{\varepsilon\}, k = 0\\ LL^{k-1}, k \gt 0. \end{cases} [/math]
5. Замыкание Клини: [math]L^*=\bigcup\limits_{i=0}^{\infty}L^i[/math].
6. Гомоморфизм

Примеры

• [math](\{0\}^*) \cup (\{1\}^*)[/math] — язык состоит из последовательностей нулей, последовательностей единиц и пустой строки.
• [math](\{0\}\{0\}^*) \cup (\{1\}\{1\}^*)[/math] — аналогично предыдущему, но не содержит пустую строку.
• [math](\{0\} \cup \{1\})^* = \{0, 1\}^*[/math] — содержит все двоичные векторы и пустую строку.
• Если [math]L_p[/math] — язык десятичных представлений всех простых чисел, то язык [math](L_p \setminus (\{3\}\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,0\}^*))[/math] будет содержать десятичные представления простых чисел, не начинающихся с тройки.
• [math]\{\mathrm{ab, ba, bba, abab, aa}\}a^{-1} = \{\mathrm{b, bb, a}\}[/math].

Гомоморфизм языков

Определение:

Пусть даны два алфавита [math]\Sigma_1, \Sigma_2[/math]. Гомоморфизмом называется такое отображение [math] \varphi \colon \Sigma_{1}^{*} \to \Sigma_{2}^{*}[/math], что: [math]\varphi(\varepsilon) = \varepsilon[/math], то есть сохраняет пустую строку [math]\forall w_1, w_2 \in \Sigma_1^*: \varphi(w_1w_2) = \varphi(w_1)\varphi(w_2)[/math], то есть сохраняет конкатенацию

Определение:

Образом языка [math]L \subset \Sigma_1^* [/math] при гомоморфизме [math]\varphi: \Sigma_1^* \to \Sigma_2^*[/math] (иногда называют прямым гомоморфизмом) называется язык [math]M = \varphi(L) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \{ \varphi(x) \mid x \in L \}[/math]. Заметим, что [math]\varphi[/math] будет гомоморфизмом моноидов [math]\langle L, \cdot, \varepsilon \rangle[/math] и [math]\langle M, \cdot, \varepsilon \rangle[/math]

Определение:

Прообразом языка [math]M \subset \Sigma_2^*[/math] при гомоморфизме [math]\varphi: \Sigma_1^* \to \Sigma_2^*[/math] (иногда называют обратным гомоморфизмом) называется язык [math]L = \varphi^{-1}(M) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \{ x \mid \varphi(x) \in M \}[/math]. Заметим, что [math]\varphi[/math] будет гомоморфизмом моноидов [math]\langle L, \cdot, \varepsilon \rangle[/math] и [math]\langle M, \cdot, \varepsilon \rangle[/math]

Примеры

• тривиальные гомоморфизмы
  • обнуляющий: [math] \varphi(x) = \varepsilon, x \in L [/math], тогда [math] \varphi(L) = \{ \varepsilon \} [/math]
  • тождественный: [math] \varphi(x) = x, x \in L [/math], тогда [math] \varphi(L) = L [/math] и [math] \varphi^{-1}(L) = L[/math]
• гомоморфизм цепочек — функция, подставляющая некоторую строку вместо каждого символа. Более формально, для заданного отображения [math] h\colon \Sigma_1 \to \Sigma_1^* [/math] гомоморфизмом цепочек будет функция [math] \varphi: \Sigma_1^* \to \Sigma_2^* [/math], действующая от каждого символа строки из языка следующим образом [math] \varphi(\overline{c_1 c_2 ... c_n}) = h(c_1)h(c_2) ... h(c_k) [/math]. Регулярные языки замкнуты относительно гомоморфизма цепочек
• солнечный язык из детских игр (когда после каждой гласной в слове надо добавлять букву "С" и эту же гласную) может быть представлен в виде гомоморфизма языков, где все согласные символы отображаются сами в себя, а гласный символ [math] z [/math] переходит в [math] zCz [/math]
• циклический гомоморфизм: зафиксируем порядок символов в алфавите, будем отображать каждый символ в следующий, а последний — в первый. Обратным гомоморфизмом будет отображение каждого символа в предыдущий.

Ссылки

• Wikipedia — Formal language
• Wikipedia — Kleene star
• Wikipedia — String homomorphism
• Википедия — Формальный язык
• Википедия — Звезда Клини
• M.Lothaire "Combinatorics on words"
• Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д. Введение в теорию автоматов, языков и вычислений, 2-е изд. : Пер. с англ. — М.:Издательский дом «Вильямс», 2002. — С. 45.