===Пример неглавной вычислимой нумерации===
Приведем {{Теорема|statement=Пусть <tex>U-</tex> универсальная функция, соответствующая главной нумерации. Множество тех <tex>n</tex>, при которых функция <tex>U_n</tex> является нигде не определённой, неразрешимо.|proof=Покажем, что если бы это множество было разрешимо, то любое перечислимое множество было бы разрешимо (что не так).Пусть <tex>W-</tex> произвольное перечислимое неразрешимое множество. Введем функцию <tex>V</tex> от двух аргументов такую, что <tex>V(n,x) = 0</tex> если <tex> n \in W </tex>, и неопределенную в противном случае.Эта функция имеет сечения двух типов: сечение есть нулевая функция, либо нигде не определенная функция.Поскольку <tex> U </tex> соответствует главной нумерации, то существует вычислимая всюду определённая функция <tex>s</tex> такая, что<tex>V (n, x) = U(s(n), x)</tex> для любых <tex>n</tex> и <tex>x</tex>, то есть <tex>V_n = U_{s(n)}</tex>. Тогда при <tex> n \in W </tex> значение <tex>S_n</tex> есть <tex>U</tex>-номер нулевой функции, иначе <tex>U</tex>-номер нигде не определенной функции. Поэтому если бы множество <tex>U</tex>-номеров нигде не определённой функции разрешалось бы некоторым алгоритмом, то применяя этот алгоритм к <tex>s(n)</tex> мы могли бы узнать принадлежность <tex>n</tex> к множеству <tex>W</tex>. То есть множество <tex>W</tex> было бы разрешимым в противоречии с нашим предположением.}}Также мы можем заключить, что нигде не определённая функция имеет бесконечно много номеров в любой главной нумерации (поскольку любое конечное множество разрешимо). А также отметим, что множество номеров нигде неопределённой функции не только не разрешимо, но и не перечислимо. Его дополнение <tex>-</tex> множество всех номеров всехфункций с непустой областью определения — перечислимо (При вычислении <tex>U(n,x)</tex> для всех <tex>n, x</tex> мы можем печатать те <tex>n</tex>, для которых нашло <tex>x</tex> такое, что <tex>U(n,x)</tex> определено). А если дополнение неразрешимого множества перечислимо, то само множество неперечислимо. Теперь приведем пример вычислимой нумерации, не являющейся главной. Для этого достаточно сделать так, чтобы нигде
не определённая функция имела единственный номер. Пусть <tex>U(n,x)</tex>- произвольная вычислимая универсальная функция.
Теперь возьмем перечислимое множество <tex>D</tex> всех <tex>U</tex>-номеров всех функций таких, что их область определения непуста. Пусть функция <tex>d</tex> есть всюду определенная функция перечисляющая множество <tex>D</tex>. Рассмотрим функцию <tex>V(i, x)</tex>, для которой <tex>V(0, x)</tex> не определено ни при каком <tex>x</tex>, а <tex>V(i+1, x) = U(d(i), x)</tex>. То есть, функция <tex>V_0</tex> нигде не определена, а функция <tex>V_{i+1}</tex> совпадает с <tex>U_{d(i)}</tex>. Очевидно, функция <tex>V</tex> вычислима и универсальна (по построению), а единственным <tex>V</tex>-номером нигде не определённой функции является число <tex>0</tex>. Тогда нумерация, соответствующая этой функции является неглавной.
