Теоретический минимум по математическому анализу за 3 семестр — различия между версиями
(→36. Пространства, полнота: наверное, нужен кто-то шарящий, дабы перекинуть часть материала в следующий билет) |
(→41. Критерий Лебега интегрируемости по Риману) |
||
(не показаны 33 промежуточные версии 8 участников) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | [[Категория:Математический анализ 2 курс]] | ||
+ | |||
=1. Полукольцо и алгебра множеств (примеры)= | =1. Полукольцо и алгебра множеств (примеры)= | ||
{{Определение | {{Определение | ||
|definition= | |definition= | ||
− | Пусть <tex> X </tex> — некоторое множество, <tex> \mathcal R </tex> — совокупность его подмножеств (не обязательно всех). | + | Пусть <tex> X </tex> — некоторое множество, <tex> \mathcal R </tex> — совокупность его подмножеств (не обязательно всех). <tex>\mathcal R</tex> называется '''полукольцом''' множеств из <tex>X</tex>, если: |
# <tex> \varnothing \in \mathcal R </tex> | # <tex> \varnothing \in \mathcal R </tex> | ||
# <tex> A, B \in \mathcal R \Rightarrow A \cap B \in \mathcal R </tex> (замкнутость относительно пересечения) | # <tex> A, B \in \mathcal R \Rightarrow A \cap B \in \mathcal R </tex> (замкнутость относительно пересечения) | ||
Строка 14: | Строка 16: | ||
# <tex> \varnothing \in \mathcal A </tex> | # <tex> \varnothing \in \mathcal A </tex> | ||
− | # <tex> B \in \mathcal A \Rightarrow \overline B = X \setminus B \in \mathcal A </tex> | + | # <tex> B \in \mathcal A \Rightarrow \overline B = X \setminus B \in \mathcal A </tex> (замкнутость относительно дополнения) |
− | # <tex> B, C \in \mathcal A \Rightarrow B \ | + | # <tex> B, C \in \mathcal A \Rightarrow B \cup C \in \mathcal A </tex> (замкнутость относительно объединения) |
− | <tex> \mathcal A </tex> называется '''σ-алгеброй''' (сигма-алгеброй, счетной алгеброй), если третья аксиома усилена требованием принадлежности <tex> \mathcal A </tex> | + | <tex> \mathcal A </tex> называется '''σ-алгеброй''' (сигма-алгеброй, счетной алгеброй), если третья аксиома усилена требованием принадлежности <tex> \mathcal A </tex> объединения счетного числа множеств |
}} | }} | ||
Строка 28: | Строка 30: | ||
{{Определение | {{Определение | ||
|definition= | |definition= | ||
− | Пусть <tex> | + | Пусть <tex> \mathcal R </tex> — полукольцо. <tex> m: \mathcal R \rightarrow \overline{\mathbb R}_{+}</tex> называется '''мерой''' на нем, если: |
# <tex> m(\varnothing) = 0 </tex> | # <tex> m(\varnothing) = 0 </tex> | ||
− | # Для дизъюнктных <tex> A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R </tex> и <tex> A \in \mathcal R </tex>, такого, что <tex> A = \bigcup\limits_{n} A_n </tex>, <tex> m(A) = \sum\limits_n m(A_n) </tex> ( | + | # Для дизъюнктных <tex> A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R </tex> и <tex> A \in \mathcal R </tex>, такого, что <tex> A = \bigcup\limits_{n} A_n </tex>, <tex> m(A) = \sum\limits_n m(A_n) </tex> (<tex>\sigma</tex>-аддитивность) |
}} | }} | ||
===Два важных свойства на полукольце:=== | ===Два важных свойства на полукольце:=== | ||
Строка 39: | Строка 41: | ||
1) Для <tex> A \in \mathcal R </tex> и дизъюнктных <tex> A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R</tex> таких, что <tex>\bigcup\limits_{n} A_n \subset A </tex> выполняется <tex> \sum\limits_{n} m(A_n) \le m(A) </tex> | 1) Для <tex> A \in \mathcal R </tex> и дизъюнктных <tex> A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R</tex> таких, что <tex>\bigcup\limits_{n} A_n \subset A </tex> выполняется <tex> \sum\limits_{n} m(A_n) \le m(A) </tex> | ||
− | 2) Для <tex> A \in \mathcal R </tex> и <tex> A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R</tex> таких, что <tex>A \subset \bigcup\limits_{n} A_n </tex> выполняется <tex> m(A) \le \sum\limits_{n} m(A_n) </tex> ('' | + | 2) Для <tex> A \in \mathcal R </tex> и <tex> A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R</tex> таких, что <tex>A \subset \bigcup\limits_{n} A_n </tex> выполняется <tex> m(A) \le \sum\limits_{n} m(A_n) </tex> (''<tex>\sigma</tex>-полуаддитивность'') |
''Замечание:'' в случае <tex> n = 1</tex> второе свойство <tex>A \subset B \Rightarrow m(A) \le m(B) </tex> называют ''монотоностью'' меры. | ''Замечание:'' в случае <tex> n = 1</tex> второе свойство <tex>A \subset B \Rightarrow m(A) \le m(B) </tex> называют ''монотоностью'' меры. | ||
Строка 51: | Строка 53: | ||
1) <tex> \mu^* (\varnothing) = 0 </tex> | 1) <tex> \mu^* (\varnothing) = 0 </tex> | ||
− | 2) Для <tex> A \subset \bigcup\limits_n A_n </tex> выполняется <tex> \mu^*(A) \le \sum\limits_{n} \mu^*(A_n) </tex> ( | + | 2) Для <tex> A \subset \bigcup\limits_n A_n </tex> выполняется <tex> \mu^*(A) \le \sum\limits_{n} \mu^*(A_n) </tex> (<tex>\sigma</tex>-полуаддитивность) |
}} | }} | ||
− | Пусть заданы полукольцо <tex> | + | Пусть заданы полукольцо <tex> \mathcal R </tex> из <tex>X</tex> и мера <tex> m </tex> на нем. Тогда для любого множества <tex> A \subset X </tex>: |
1) Полагаем <tex> \mu^*(A) = + \infty </tex>, если <tex> A </tex> нельзя покрыть не более чем счетным количеством множеств из полукольца. | 1) Полагаем <tex> \mu^*(A) = + \infty </tex>, если <tex> A </tex> нельзя покрыть не более чем счетным количеством множеств из полукольца. | ||
Строка 78: | Строка 80: | ||
=5. Распространение меры с полукольца на сигма-алгебру по Каратеодори. Доказательство теоремы= | =5. Распространение меры с полукольца на сигма-алгебру по Каратеодори. Доказательство теоремы= | ||
− | {{ | + | {{Теорема |
+ | |author=Каратеодори | ||
+ | |statement= | ||
+ | Пусть построения <tex>(X, \mathcal{R}, m) \to (X, 2^X, \mu^*) \to (X, \mathcal{A}, \mu)</tex> были выполнены так, как описывалось в предыдущих параграфах. Тогда: | ||
+ | # <tex>\mathcal{R} \subset \mathcal{A}</tex> | ||
+ | # <tex>\mu|_\mathcal{R} = m</tex> | ||
+ | }} | ||
=6. Теорема о повторном применении процесса Каратеодори= | =6. Теорема о повторном применении процесса Каратеодори= | ||
Строка 92: | Строка 100: | ||
=7. Критерий мю*-измеримости= | =7. Критерий мю*-измеримости= | ||
− | {{ | + | {{Утверждение |
+ | |about=Критерий <tex>\mu</tex>-измеримости | ||
+ | |statement=Пусть <tex>E\subset X</tex>. Тогда <tex>E</tex>-измеримо <tex>\iff</tex> <tex>\forall\varepsilon > 0</tex> <tex> \exists (A_\varepsilon, B_\varepsilon), A_\varepsilon, B_\varepsilon\in\mathcal{A} : A_\varepsilon \subset E \subset B_\varepsilon : \mu(B_\varepsilon\setminus A_\varepsilon) < \varepsilon</tex> | ||
+ | }} | ||
=8. Объем многомерного параллелепипеда и его основные свойства= | =8. Объем многомерного параллелепипеда и его основные свойства= | ||
Строка 116: | Строка 127: | ||
=9. Объем, как мера на полукольце ячеек= | =9. Объем, как мера на полукольце ячеек= | ||
− | {{ | + | {{Теорема |
+ | |statement=Объём ячейки {{---}} <tex>\sigma</tex>-аддитивная функция на <tex>\mathcal{R}</tex>, то есть, мера на этом множестве. | ||
+ | }} | ||
=10. Некоторые классы измеримых по Лебегу множеств (счетные, открытые, замкнутые)= | =10. Некоторые классы измеримых по Лебегу множеств (счетные, открытые, замкнутые)= | ||
Строка 123: | Строка 136: | ||
=11. Теорема о внешней мере в R^n= | =11. Теорема о внешней мере в R^n= | ||
+ | |||
+ | {{Теорема | ||
+ | |statement= | ||
+ | Пусть <tex> E \subset \mathbb R ^n </tex>. Тогда <tex> \lambda^*E = \inf\limits_{G: E \subset G} \lambda G </tex> (<tex> G </tex> - открытые множества). | ||
+ | }} | ||
{{TODO|t = дописать: чего-нить по теме}} | {{TODO|t = дописать: чего-нить по теме}} | ||
Строка 141: | Строка 159: | ||
<tex> \mu B = 0 , A \subset B \Rightarrow A \in \mathcal A, \mu A = 0 </tex> | <tex> \mu B = 0 , A \subset B \Rightarrow A \in \mathcal A, \mu A = 0 </tex> | ||
− | Пусть <tex> E \subset X, f: E \rightarrow \mathbb R </tex>, будем обозначать как <tex> E ( | + | Пусть <tex> E \subset X, f: E \rightarrow \mathbb R </tex>, будем обозначать как <tex> E ( P )</tex> совокупность точек из <tex>E</tex>, для которых свойство <tex> P </tex> верно. |
{{Определение | {{Определение | ||
Строка 187: | Строка 205: | ||
{{Определение | {{Определение | ||
|definition= | |definition= | ||
− | + | Две функции <tex>f</tex> и <tex>g</tex>, определённые на множестве <tex>E \in X</tex>, называются '''эквивалентными''' на этом множестве, если <tex>f(x) = g(x)</tex> почти всюду. | |
}} | }} | ||
Строка 206: | Строка 224: | ||
//а единственность у нас вообще была? 0_о Если да, то {{TODO|t = добавить}}. | //а единственность у нас вообще была? 0_о Если да, то {{TODO|t = добавить}}. | ||
+ | : А в каком смысле единственность? Очевидно же, что если функциональная последовательность сходится почти всюду к <tex> f </tex>, то она будет сходиться почти всюду и к любой функции <tex>g</tex> такой, что <tex>g \sim f</tex>. А значит, будет сходиться к ней и по мере. | ||
=18. Теорема Лебега о связи сходимости п.в. и по мере= | =18. Теорема Лебега о связи сходимости п.в. и по мере= | ||
Строка 225: | Строка 244: | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|author=Егоров | |author=Егоров | ||
− | |statement=Пусть <tex>\mu E < +\infty</tex>, <tex>f_n \to f</tex> почти всюду на <tex>E</tex>, <tex>\delta > 0 | + | |statement=Пусть <tex>\mu E < +\infty</tex>, <tex>f_n \to f</tex> почти всюду на <tex>E</tex>. Тогда, для любого <tex>\delta > 0: \exists E'' \subset E</tex>, <tex>\mu E'' > \mu E - \delta</tex>, <tex>f_n \stackrel{E''}{\rightrightarrows} f</tex> <br> |
− | + | Смысл теоремы Егорова в том, что сходимость почти всюду не очень сильно (с точностью до множества малой меры) отличается от равномерной сходимости. | |
}} | }} | ||
Строка 246: | Строка 265: | ||
=22. Суммы Лебега-Дарбу и их свойства, определение интеграла Лебега, совпадение интеграла Римана с интегралом Лебега= | =22. Суммы Лебега-Дарбу и их свойства, определение интеграла Лебега, совпадение интеграла Римана с интегралом Лебега= | ||
+ | |||
+ | Есть <tex>(X, \mathcal{A}, \mu)</tex>. Далее, мы всегда предполагаем, что <tex>\mu</tex> {{---}} <tex>\sigma</tex>-конечная и полная. | ||
+ | |||
+ | Пусть <tex>E</tex> {{---}} измеримое множество (<tex>E \in \mathcal{A}</tex>), | ||
+ | <tex>f : E \to \mathbb{R}</tex>, <tex>\forall x \in E : |f(x)| \leq M</tex>, <tex>\mu E < +\infty</tex>. | ||
+ | |||
+ | Разобьём <tex>E</tex> на конечное число попарно дизъюнктных измеримых частей: | ||
+ | |||
+ | <tex>E = \bigcup\limits_{p=1}^n e_p</tex> {{---}} дизъюнктные и измеримые. <tex>\tau = \{e_1; e_2; \ldots e_n\}</tex> {{---}} разбиение. | ||
+ | |||
+ | Строим системы чисел <tex>m_p(f) = m_p = \inf\limits_{x \in e_p} f(x)</tex>, <tex>M_p(f) = M_p = \sup\limits_{x\in e_p} f(x)</tex>, они конечны. | ||
{{Определение | {{Определение | ||
Строка 317: | Строка 347: | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|author=Лебег | |author=Лебег | ||
− | |statement=Пусть <tex>\mu E < +\infty</tex>, <tex>f_n</tex>, <tex>f</tex> {{---}} измеримы на <tex>E</tex>, <tex>|f_n(x)| \le M\ \forall n</tex> на <tex>E</tex>. Если <tex>f_n \Rightarrow f</tex> на <tex>E</tex>, тогда <tex>\int \limits _{E} f_n \to \int \limits_{E} f</tex>. | + | |statement=Пусть <tex>\mu E < +\infty</tex>, <tex>f_n</tex>, <tex>f</tex> {{---}} измеримы на <tex>E</tex>, <tex>|f| \le M, |f_n(x)| \le M\ \forall n</tex> на <tex>E</tex>. Если <tex>f_n \Rightarrow f</tex> на <tex>E</tex>, тогда <tex>\int \limits _{E} f_n \to \int \limits_{E} f</tex>. |
}} | }} | ||
Строка 324: | Строка 354: | ||
{{Определение | {{Определение | ||
|definition= | |definition= | ||
− | <tex> f </tex> '''суммируема''' на <tex> E </tex>, если | + | <tex> f </tex> '''суммируема''' на <tex> E </tex>, если <tex>\sup\int\limits_{e}fd\mu < +\infty</tex>, где <tex>e</tex> - '''хорошее множество''', то есть <tex>e \subset E</tex>, <tex>\mu e < +\infty</tex>, <tex>f</tex> - ограничена на <tex>e</tex>. |
− | |||
}} | }} | ||
Строка 337: | Строка 366: | ||
=30. Арифметические свойства интеграла неотрицательных функций= | =30. Арифметические свойства интеграла неотрицательных функций= | ||
− | {{ | + | (Конечно долго, но кто хочет - исправьте) |
+ | <tex>\sigma</tex>-аддитивность позволяет переносить на любые <tex>f \ge 0</tex> стандартные свойства интеграла Лебега, например, линейность. | ||
+ | Действительно, <tex> \int \limits_{E}(f + g) = \int \limits_{E} f + \int \limits_{E} g</tex> для <tex>f, g \ge 0</tex>: | ||
+ | |||
+ | Чтобы свести ситуацию к ограниченным функциям, мы разбиваем <tex>E</tex> на измеримые, дизъюнктные множества. <tex>E = \bigcup \limits_{n = 1}^{\infty} E_{f_n}(n - 1 \le f < n)</tex>. Аналогично, <tex>E = \bigcup \limits_{n = 1}^{\infty} E_{g_n}(n - 1 \le g < n)</tex>. | ||
+ | |||
+ | После этого, <tex>E = \bigcup \limits_{m,n = 1}^{\infty}(E_{f_n} \cap E_{g_m}) = \bigcup \limits_{p=1}^{\infty} B_p</tex>. За счет <tex>\sigma</tex>-конечности меры, можно считать, что <tex>\forall p: \mu B_p < +\infty</tex>. | ||
+ | |||
+ | За счет <tex>\sigma</tex>-аддитивности интеграла от неотрицательной функции: | ||
+ | |||
+ | <tex>\int \limits_{E} (f+g) = \sum \limits_{p} \int \limits_{B_p} (f + g) = \sum \limits_{p} (\int \limits_{B_p} f + \int \limits_{B_p} g) = \sum \limits_{p} \int \limits_{B_p}f + \sum \limits_{p} \int \limits_{B_p} g = \int \limits_{E} f + \int \limits_{E} g</tex>. Получили линейность. | ||
=31. О распространении основных свойств интеграла Лебега на суммируемые функции произвольного знака= | =31. О распространении основных свойств интеграла Лебега на суммируемые функции произвольного знака= | ||
Строка 345: | Строка 384: | ||
=32. Теорема Лебега о мажорируемой сходимости= | =32. Теорема Лебега о мажорируемой сходимости= | ||
− | |||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|author= | |author= | ||
Строка 352: | Строка 390: | ||
о мажорируемой сходимости | о мажорируемой сходимости | ||
|statement= | |statement= | ||
− | Пусть на <tex> E \subset X </tex> задана последовательность измеримых функций <tex> f_n </tex>, таких, что <tex> |f_n(x)| \le \varphi(x) </tex> почти всюду, где <tex> \varphi </tex> — | + | Пусть на <tex> E \subset X </tex> задана последовательность измеримых функций <tex> f_n </tex>, таких, что <tex> |f_n(x)| \le \varphi(x) </tex> почти всюду, где <tex> \varphi </tex> — суммируемая. |
Пусть <tex> f_n \underset{E}{\Rightarrow} f </tex> (по мере). Тогда допустим предельный переход под знаком интеграла: | Пусть <tex> f_n \underset{E}{\Rightarrow} f </tex> (по мере). Тогда допустим предельный переход под знаком интеграла: | ||
Строка 378: | Строка 416: | ||
=34. Теорема Фату= | =34. Теорема Фату= | ||
− | |||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|author= | |author= | ||
Строка 414: | Строка 451: | ||
=37. Всюду плотность множества С в пространствах= | =37. Всюду плотность множества С в пространствах= | ||
− | {{ | + | {{Теорема |
+ | |statement= | ||
+ | Измеримые ограниченные функции образуют всюду плотное множество в <tex>L_p</tex> | ||
+ | |proof= | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | {{Теорема | ||
+ | |statement= | ||
+ | Непрерывные функции образуют всюду плотное множество в <tex>L_p</tex> | ||
+ | |proof= | ||
+ | }} | ||
=38. Мера цилиндра= | =38. Мера цилиндра= | ||
− | {{ | + | {{Определение |
+ | |definition= | ||
+ | Пусть <tex> E \subset \mathbb R^n, f : E \to \mathbb R_+, f </tex> — измерима.<br> | ||
+ | |||
+ | <tex> G(f) = G = \{ (x_1 \ldots x_{n + 1}) \in \mathbb R^{n+1} : (x_1 \ldots x_n) \in E, 0 \le x_{n + 1} \le f(x_1 \ldots x_n) \} </tex> — '''подграфик функции'''. | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | Если <tex> f(x_1 \ldots x_n) = c \ge 0 </tex> на <tex> E </tex>, то подграфик называется цилиндром в <tex> \mathbb R^{n + 1} </tex>. | ||
+ | |||
+ | {{Утверждение | ||
+ | |statement= | ||
+ | <tex> G </tex> - цилиндр высоты <tex>c \ge 0 </tex>, измеримое <tex> E \subset \mathbb R^n </tex> — основание. Тогда он измерим и при <tex> c > 0: \lambda_{n+1} G = c \lambda_n E </tex>, при <tex> c = 0: \lambda_{n+1} G = 0 </tex>. | ||
+ | }} | ||
=39. Мера подграфика= | =39. Мера подграфика= | ||
− | {{ | + | {{Теорема |
+ | |about= | ||
+ | о мере подграфика | ||
+ | |statement= | ||
+ | Если <tex> f(x) \ge 0 </tex> и измерима на множестве <tex> E \in \mathbb R^n </tex>, то её подграфик <tex> G(f) </tex> — измерим, а <tex> \lambda_{n+1}(G) = \int\limits_E f d \lambda_n </tex>. | ||
+ | }} | ||
=40. Вычисление меры множества посредством его сечений= | =40. Вычисление меры множества посредством его сечений= | ||
− | {{ | + | {{Теорема |
+ | |statement= | ||
+ | Пусть <tex> E \subset \mathbb R^2, \lambda_2 E < + \infty </tex> | ||
+ | |||
+ | Тогда: | ||
+ | # <tex> \forall x_1 \in \mathbb R : E(x_1) </tex> — измеримое множество. | ||
+ | # <tex> \lambda_1(E(x_1)) </tex> — измеримая на <tex> \mathbb R </tex> функция. | ||
+ | # <tex> \lambda_2(E) = \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 (E(x_1)) d x_1 </tex> | ||
+ | }} | ||
=41. Теорема Фубини= | =41. Теорема Фубини= | ||
− | {{ | + | {{Теорема |
+ | |author= | ||
+ | Фубини | ||
+ | |statement= | ||
+ | Пусть <tex> E \subset \mathbb R^2, f: E \to \mathbb R </tex> — измерима. | ||
+ | |||
+ | <tex> \int\limits_E |f| d \lambda_2 < + \infty </tex> (<tex> f </tex> — суммируема). | ||
+ | |||
+ | Тогда для почти всех <tex> x_1 \in \mathbb R, f(x_1, \cdot) </tex> будет суммируемой на <tex> E(x_1) </tex> и <tex> \int\limits_E f d \lambda_2 = \int\limits_{\mathbb R} \left( \int\limits_{E(x_1)} f(x_1, x_2) d x_2 \right) d x_1 </tex> (формула повторного интегрирования) | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | =42. Восстановление первообразной по ограниченной производной= | ||
+ | |||
+ | {{Теорема | ||
+ | |statement= | ||
+ | |||
+ | Пусть задана дифференциируемая функция <tex>F(x)</tex> на интервале <tex>[a,b)</tex>, производная которой ограничена на этом интервале. Тогда эта производная <tex>f(x) = F'(x)</tex> - измерима на <tex>[a;b)</tex> и выполняется равенство <tex>F(x) = F(a) + \int \limits_{[a,x]} f(t) dt</tex> | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | =43. Критерий Лебега интегрируемости по Риману= | ||
+ | |||
+ | {{Теорема | ||
+ | |author= | ||
+ | Лебег | ||
+ | |statement= | ||
+ | <tex>f\in \mathfrak{R}(a,b) \Leftrightarrow f </tex> почти всюду непрерывна на <tex>(a,b)</tex> | ||
+ | }} |
Версия 01:51, 29 января 2014
Содержание
- 1 1. Полукольцо и алгебра множеств (примеры)
- 2 2. Мера на полукольце множеств и ее основные свойства
- 3 3. Внешняя мера, порожденная мерой на полукольце
- 4 4. Понятие о мю*- измеримых множествах. Доказательство основной теоремы
- 5 5. Распространение меры с полукольца на сигма-алгебру по Каратеодори. Доказательство теоремы
- 6 6. Теорема о повторном применении процесса Каратеодори
- 7 7. Критерий мю*-измеримости
- 8 8. Объем многомерного параллелепипеда и его основные свойства
- 9 9. Объем, как мера на полукольце ячеек
- 10 10. Некоторые классы измеримых по Лебегу множеств (счетные, открытые, замкнутые)
- 11 11. Теорема о внешней мере в R^n
- 12 12. Структура измеримого по Лебегу множества
- 13 13. Определение измеримых функций, теорема о множествах Лебега
- 14 14. Арифметика измеримых функций
- 15 15. Измеримость поточечного предела измеримых функций
- 16 16. Эквивалентные функции и сходимость почти всюду
- 17 17. Предел по мере и его единственность
- 18 18. Теорема Лебега о связи сходимости п.в. и по мере
- 19 19. Теорема Рисса
- 20 20. Теорема Егорова
- 21 21. Теоремы Лузина (без док-ва) и Фреше
- 22 22. Суммы Лебега-Дарбу и их свойства, определение интеграла Лебега, совпадение интеграла Римана с интегралом Лебега
- 23 23. Интегрируемость ограниченной, измеримой функции
- 24 24. Счетная аддитивность интеграла
- 25 25. Абсолютная непрерывность интеграла
- 26 26. Арифметические свойства интеграла Лебега
- 27 27. Теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла
- 28 28. Определение интеграла от суммируемой функции
- 29 29. Сигма-аддитивность интеграла неотрицательных функций
- 30 30. Арифметические свойства интеграла неотрицательных функций
- 31 31. О распространении основных свойств интеграла Лебега на суммируемые функции произвольного знака
- 32 32. Теорема Лебега о мажорируемой сходимости
- 33 33. Теорема Б.Леви и следствие о ряде из интегралов
- 34 34. Теорема Фату
- 35 35. Неравенства Гельдера и Минковского
- 36 36. Пространства, полнота
- 37 37. Всюду плотность множества С в пространствах
- 38 38. Мера цилиндра
- 39 39. Мера подграфика
- 40 40. Вычисление меры множества посредством его сечений
- 41 41. Теорема Фубини
- 42 42. Восстановление первообразной по ограниченной производной
- 43 43. Критерий Лебега интегрируемости по Риману
1. Полукольцо и алгебра множеств (примеры)
Определение: |
Пусть
| — некоторое множество, — совокупность его подмножеств (не обязательно всех). называется полукольцом множеств из , если:
Определение: |
Пусть
| — некоторое множество, — совокупность его подмножеств. — алгебра, если:
Примеры:
TODO: дописать: чего-нить по теме
2. Мера на полукольце множеств и ее основные свойства
Определение: |
Пусть
| — полукольцо. называется мерой на нем, если:
Два важных свойства на полукольце:
Пусть
— мера на полукольце , тогда:1) Для
и дизъюнктных таких, что выполняется2) Для
и таких, что выполняется ( -полуаддитивность)Замечание: в случае
второе свойство называют монотоностью меры.3. Внешняя мера, порожденная мерой на полукольце
Определение: |
Внешняя мера на множестве 1) 2) Для выполняется ( -полуаддитивность) | - неотрицательная функция, заданная на множестве всех подмножеств , и удовлетворяющая следующим аксиомам:
Пусть заданы полукольцо из и мера на нем. Тогда для любого множества :
1) Полагаем
, если нельзя покрыть не более чем счетным количеством множеств из полукольца.2) Полагаем
, в противном случае, то есть внешняя мера является нижней гранью множества мер для всех не более чем счетных покрытий из полукольца .Теорема: |
Определенная нами является корректной внешней мерой на , при этом, для . |
4. Понятие о мю*- измеримых множествах. Доказательство основной теоремы
Определение: |
Пусть есть множество | и внешняя мера на нем, и множества являются подмножествами . Множество хорошо разбивает множество , если .
Определение: |
Множество | называется μ*-измеримым, если оно хорошо разбивает всякое множество .
5. Распространение меры с полукольца на сигма-алгебру по Каратеодори. Доказательство теоремы
Теорема (Каратеодори): |
Пусть построения были выполнены так, как описывалось в предыдущих параграфах. Тогда:
|
6. Теорема о повторном применении процесса Каратеодори
.
Построим
— внешнюю мера для . Возникает вопрос: "Построили ли мы что-то новое?"Теорема: |
(повторное применение процесса Каратеодори не приводит нас к новой мере). |
7. Критерий мю*-измеримости
Утверждение (Критерий | -измеримости):
Пусть . Тогда -измеримо |
8. Объем многомерного параллелепипеда и его основные свойства
Определение: |
Определение: |
— объём прямоугольника |
Утверждение: |
Пусть попарно не имеют общих внутренних точек, (прямоугольник), тогда . |
Утверждение: |
Пусть попарно не имеют общих внутренних точек и .
Тогда |
Утверждение: |
Пусть — прямоугольники, . Тогда |
9. Объем, как мера на полукольце ячеек
Теорема: |
Объём ячейки — -аддитивная функция на , то есть, мера на этом множестве. |
10. Некоторые классы измеримых по Лебегу множеств (счетные, открытые, замкнутые)
TODO: дописать: чего-нить по теме
11. Теорема о внешней мере в R^n
Теорема: |
Пусть . Тогда ( - открытые множества). |
TODO: дописать: чего-нить по теме
12. Структура измеримого по Лебегу множества
Теорема: |
Пусть измеримо по Лебегу. Тогда оно представимо в виде , причем A - множество типа , а . |
13. Определение измеримых функций, теорема о множествах Лебега
Будем рассматривать пространство
, считаем, что мера — -конечная, полная, то есть:
Пусть
, будем обозначать как совокупность точек из , для которых свойство верно.
Определение: |
, — множества Лебега функции . |
Определение: |
называется измеримой по Лебегу, если для любого множества Лебега всех четырех типов измеримы(то есть, принадлежат сигма-алгебре). |
Утверждение (Измеримость по Лебегу): |
Функция измерима по Лебегу на для любого измеримо её множество Лебега одного любого фиксированного типа. |
14. Арифметика измеримых функций
Теорема: |
Пусть и измеримы на . Тогда
1) |
15. Измеримость поточечного предела измеримых функций
Утверждение: |
Пусть измеримо, , — измеримо на ,
Тогда тоже измеримо на . |
16. Эквивалентные функции и сходимость почти всюду
Определение: |
Пусть заданы функции | на , . Если , то почти всюду на .
Определение: |
Две функции | и , определённые на множестве , называются эквивалентными на этом множестве, если почти всюду.
Утверждение: |
Пусть — измеримо, почти всюду на . Тогда — измерима. |
17. Предел по мере и его единственность
Пусть функции
— измеримы на , множества , где , измеримы.
Определение: |
стремятся по мере на к ( ), если |
В определённом смысле, это наиболее слабый вид сходимости, что подтверждает следующая классическая теорема Лебега.
//а единственность у нас вообще была? 0_о Если да, то TODO: добавить.
- А в каком смысле единственность? Очевидно же, что если функциональная последовательность сходится почти всюду к , то она будет сходиться почти всюду и к любой функции такой, что . А значит, будет сходиться к ней и по мере.
18. Теорема Лебега о связи сходимости п.в. и по мере
Теорема (Лебег): |
, почти всюду на . Тогда . |
19. Теорема Рисса
Теорема (Фердинанд Рисс): |
Пусть последовательность функций сходится по мере к функции на . Тогда из неё можно выделить подпоследовательность, которая сходится почти всюду на . |
20. Теорема Егорова
Теорема (Егоров): |
Пусть , почти всюду на . Тогда, для любого , , Смысл теоремы Егорова в том, что сходимость почти всюду не очень сильно (с точностью до множества малой меры) отличается от равномерной сходимости. |
21. Теоремы Лузина (без док-ва) и Фреше
Теорема (Лузин): |
, — измерима на по мере Лебега. Тогда — непрерывная на , |
Это принято называть
-свойством Лузина.Если, помимо всего прочего,
ограничена на , то можно подобрать таким образом, что она ограничена той же постоянной на .Теорема (Фреше): |
, — измерима на . Тогда — последовательность непрерывных на функций, такая, что почти всюду на . |
22. Суммы Лебега-Дарбу и их свойства, определение интеграла Лебега, совпадение интеграла Римана с интегралом Лебега
Есть
. Далее, мы всегда предполагаем, что — -конечная и полная.Пусть
— измеримое множество ( ), , , .Разобьём
на конечное число попарно дизъюнктных измеримых частей:— дизъюнктные и измеримые. — разбиение.
Строим системы чисел
, , они конечны.
Определение: |
Верхняя и нижняя суммы Лебега-Дарбу — | , . Они аналогичны суммам Дарбу для интеграла Римана.
Определение: |
— разбиения. Если любой отрезок содержится в каком-то отрезке , то мельче , . |
Лемма: |
1.
2. 3. , |
Тогда, если определить
, , то из леммы следует: .
Определение: |
Если | , то — интегрируема по Лебегу на , общее значение этих чисел — интеграл Лебега, .
Теорема: |
. Иначе говоря, существует интеграл Лебега . |
23. Интегрируемость ограниченной, измеримой функции
Пусть
- произвольное измеримое множество, - измеримая функция.Рассмотрим набор множеств
, такой, что - измеримо, , - ограничена на . В такой ситуации существует — интеграл Лебега.
Определение: |
суммируема на , если — интеграл по . |
24. Счетная аддитивность интеграла
Теорема: |
Пусть — измеримо, разбито на дизъюнктные измеримые части: . — измеримо, . Тогда . |
25. Абсолютная непрерывность интеграла
Теорема (Абсолютная непрерывность): |
Пусть — суммируема на . Тогда |
26. Арифметические свойства интеграла Лебега
Теорема ( | -аддитивность интеграла):
Пусть существует , — измеримы и дизъюнктны. Тогда . |
Утверждение (линейность интеграла): |
Пусть , . Тогда . |
27. Теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла
Теорема (Лебег): |
Пусть , , — измеримы на , на . Если на , тогда . |
28. Определение интеграла от суммируемой функции
Определение: |
суммируема на , если , где - хорошее множество, то есть , , - ограничена на . |
29. Сигма-аддитивность интеграла неотрицательных функций
Теорема: |
Пусть — измеримо, разбито на дизъюнктные измеримые части: . — измеримо, . Тогда . |
30. Арифметические свойства интеграла неотрицательных функций
(Конечно долго, но кто хочет - исправьте)
-аддитивность позволяет переносить на любые стандартные свойства интеграла Лебега, например, линейность. Действительно, для :Чтобы свести ситуацию к ограниченным функциям, мы разбиваем
на измеримые, дизъюнктные множества. . Аналогично, .После этого,
. За счет -конечности меры, можно считать, что .За счет
-аддитивности интеграла от неотрицательной функции:. Получили линейность.
31. О распространении основных свойств интеграла Лебега на суммируемые функции произвольного знака
Так как
определен линейной формулой, то на суммируемые функции произвольного знака переносятся также -аддитивность и линейность интеграла. Достаточно их написать для и сложить.32. Теорема Лебега о мажорируемой сходимости
Теорема (Лебег, о мажорируемой сходимости): |
Пусть на задана последовательность измеримых функций , таких, что почти всюду, где — суммируемая.
Пусть (по мере). Тогда допустим предельный переход под знаком интеграла: . |
33. Теорема Б.Леви и следствие о ряде из интегралов
Избавимся от требования наличия суммируемой мажоранты:
Теорема (Леви): |
Пусть на E задана последовательность измеримых функций, каждая из которых почти всюду неотрицательна и . — почти везде конечна на . Тогда . |
Лемма (следствие о ряде из интегралов): |
Пусть на и измеримы на , и — сходится. Тогда сходится почти всюду на . |
34. Теорема Фату
Теорема (Фату): |
Пусть измеримые неотрицательны на и сходятся на по мере к функции . Тогда . |
35. Неравенства Гельдера и Минковского
— неравенство Гёльдера для интегралов. — неравенство Минковского для интегралов (полуаддитивность).
36. Пространства, полнота
- измерима на , то есть пространство функций, суммируемых с -ой степенью на . Измеримость на принципиальна, так как в общем случае из измеримости не вытекает измеримость .
Теорема: |
— линейное пространство. |
Теорема: |
с нормой, определенной как — нормированное пространство. |
Теорема (о полноте): |
— полное. |
37. Всюду плотность множества С в пространствах
Теорема: |
Измеримые ограниченные функции образуют всюду плотное множество в |
Теорема: |
Непрерывные функции образуют всюду плотное множество в |
38. Мера цилиндра
Определение: |
Пусть — подграфик функции. | — измерима.
Если на , то подграфик называется цилиндром в .
Утверждение: |
- цилиндр высоты , измеримое — основание. Тогда он измерим и при , при . |
39. Мера подграфика
Теорема (о мере подграфика): |
Если и измерима на множестве , то её подграфик — измерим, а . |
40. Вычисление меры множества посредством его сечений
Теорема: |
Пусть
Тогда:
|
41. Теорема Фубини
Теорема (Фубини): |
Пусть — измерима.
Тогда для почти всех ( — суммируема). будет суммируемой на и (формула повторного интегрирования) |
42. Восстановление первообразной по ограниченной производной
Теорема: |
Пусть задана дифференциируемая функция на интервале , производная которой ограничена на этом интервале. Тогда эта производная - измерима на и выполняется равенство |
43. Критерий Лебега интегрируемости по Риману
Теорема (Лебег): |
почти всюду непрерывна на |