Теорема Вильсона

Версия 01:05, 12 октября 2010

Теорема (Вильсон, О простых числах):

p — простое .

Доказательство:

[math] \Leftarrow [/math] Если p — не простое, тогда [math] (p-1)! \vdots p [/math] (кроме [math] p = 4 [/math]),но [math] -1 [/math], в любом случае, мы не получим.
[math] \Rightarrow [/math] Пусть [math]x : 1 \le x \le p-1[/math], для любого такого существует парный ему [math] y[/math] такой, что . Может случиться, что для некоторых [math]x[/math] будет выполнено равенство [math]x=y[/math]. Тогда , значит [math] (x-1)(x+1) \vdots p [/math], значит [math] x=1 [/math] или [math]x=p-1[/math]. Таким образом последовательность [math] 2,3, \ldots,p-2 [/math] разбивается на пары, что произведение чисел каждой из них сравнимо с 1 по модулю p. Таким образом , откуда следует, что

@@ Строка 9: / Строка 9: @@
 '''p''' — простое <tex> \Leftrightarrow (p-1)! \equiv -1(mod \text{ }p)</tex>.
 |proof=
-* <tex> \Leftarrow </tex> Если '''p''' — не простое, тогда <tex> (p-1)! \vdots p </tex> (кроме <tex> p = 4 </tex>),но -1, в любом случае, мы не получим.
+* <tex> \Leftarrow </tex> Если '''p''' — не простое, тогда <tex> (p-1)! \vdots p </tex> (кроме <tex> p = 4 </tex>),но <tex> -1 </tex>, в любом случае, мы не получим.
 * <tex> \Rightarrow </tex> Пусть  <tex>x : 1 \le x \le p-1</tex>, для любого такого существует парный ему <tex> y</tex> такой, что <tex> xy \equiv 1(mod \text{ }p) </tex>. Может случиться, что для некоторых <math>x</math> будет выполнено равенство <tex>x=y</tex>. Тогда <tex> x^2 \equiv 1(mod \text{ }p) </tex>, значит <tex> (x-1)(x+1) \vdots p </tex>, значит <tex> x=1 </tex> или <tex>x=p-1</tex>. Таким образом последовательность <tex> 2,3, \ldots,p-2 </tex> разбивается на пары, что произведение чисел каждой из них сравнимо с 1 по модулю p. Таким образом <tex> (p-1)! \equiv 1(p-1)(mod \text{ }p)</tex>, откуда следует, что <tex> (p-1)! \equiv -1(mod \text{ }p)</tex>
 }}