Изменения

'''Средняя амортизационная стоимость операций''' {{---}} величина <tex>a</tex>, находящаяся по формуле: <tex dpi = "150">a = \fracgenfrac{}{}{}{}{\sum\limits^{n}_{i = 1} {t_i}}{n}</tex>, где <tex>t_1,t_2, ... \dots t_n</tex> {{- --}} время выполнения операций <tex>1,2, ... , \dots n,</tex> , совершённых над структурой данных.

Пусть Рассмотрим стек с операцией <tex>\mathrm{multipop}{(a)}</tex> {{---}} извлечение из стека <tex>a</tex> элементов. В худшем случае она работает за <tex>O(n)</tex> времени, если удаляются все элементы массива. Однако прежде чем удалить элемент, его нужно добавить в стек. Итак, если в стеке было не более <tex>n</tex> элементов, то в худшем случае с каждым из них могли быть произведены две операции {{---}} количество добавление в стек и извлечение из него. Например, если было <tex>n</tex> операций<tex>\mathrm{push}{}</tex> {{---}} добавление в стек, стоимость каждой <tex>mO(1)</tex> , и одна операция <tex>\mathrm{multipop}{(n)}</tex>, то суммарное время всех операций {{---}} количество элементов<tex>O(n)</tex>, задействованных в этих операциях. Очевидно всего операций <tex>m \leq n+ 1</tex>, а значит, амортизационная стоимость операции {{---}} <tex>O(1)</tex> Тогда:.

Распишем приведённые рассуждения более формально.Пусть <tex dpi = "150">a = \frac{\sum\limits^{n}_{i=1} {t_i}}{n} = \frac{\sum\limits^{n}_{i=1} \sum\limits^{m}_{j=1} {t_{ij}}}{n} = \frac{\sum\limits^{m}_{j=1} \sum\limits^{n}_{i=1} {t_{ij}}}{n},</tex> где <tex>{t_{ij}}</tex> {{---}} стоимость количество операций, <tex>im</tex>{{--ой операции над <tex>j</tex>-ым элементом}} количество элементов, задействованных в этих операциях. Величина Очевидно, <tex>m \sum\limits^{leqslant n}_{i=1} {t_{ij}}</tex> не превосходит 2, т. к. над элементом можно совершить только 2 операции, стоимость которых равна 1 {{---}} добавление и удаление. Тогда:

<texdpi = "150">a = \leq genfrac{}{}{}{}{\sum\limits^{n}_{i=1} {t_i}}{n} = \genfrac{}{}{}{}{\sum\limits^{n}_{i=1} \sum\limits^{m}_{j=1} {t_{ij}}}{n} = \genfrac{}{}{}{}{\sum\limits^{m}_{j=1} \sum\limits^{n}_{i=1} {t_{ij}}}{n},</tex> где <tex>{t_{ij}}</tex> {{---}} стоимость <tex>i</tex>-ой операции над <tex>j</tex>-ым элементом. Величина <tex>\sum\fraclimits^{n}_{i=1} {t_{ij}}</tex> не превосходит <tex>2</tex>, так как над элементом можно совершить только две операции, стоимость которых равна <tex>1</tex> {{---}} добавление и удаление. Тогда: <tex dpi = "150">a \leqslant \genfrac{}{}{}{}{2m}{n} \leq leqslant 2,</tex> так как <tex>m \leq leqslant n</tex>.

Рассмотрим также двоичный инкрементальный счётчик(единственная возможная операция В итоге амортизированная стоимость одной операции {{- увеличить значение на единицу). Пусть результат увеличения счётчика - <tex>n</tex>, тогда в худшем случае необходимо изменить значения <tex> 1 + \lfloor log n \rfloor</tex> бит, тогда стоимость <tex>n</tex> операций - }} <tex> O(n log n1) </tex>.Теперь воспользуемся для анализа методом усреднения.Каждый следующий бит изменяет своё значение в <tex>n, n/2, n/4...</tex> операциях.Общая стоимость: <tex> \sum\limits_{i=0}^{\lfloor log n \rfloor} \frac{n}{2^i} < 2n = O(n)</tex>;

<tex dpi = "150">a = \fracgenfrac{}{}{}{}{\sum\limits^{n}_{i = 1} {t_i}}{n} = \fracgenfrac{}{}{}{}{\sum\limits^{n}_{i = 1} {a_i} + \sum\limits^{n - 1}_{i = 0} {\Phi_i} - \sum\limits^{n}_{i = 1} {\Phi_i} }{n} = \fracgenfrac{}{}{}{}{n \relax O(f(n, m)) + \Phi_0 - \Phi_n}{n} = O(f(n, m))</tex>

1.3) <tex>a_{=====Стек с multipop} = k - k = 0,</tex> т. к. время выполнения операции ===В качестве примера вновь рассмотрим стек с операцией <tex>\mathrm{multipop}{(ka)}</tex> . Пусть потенциал {{---}} k, а изменение потенциала {{---}} -kэто количество элементов в стеке.Тогда:

# Амортизированная стоимость операций:#* <tex>a_{push} = 1 + 1 = 2,</tex> так как время выполнения операции <tex>\mathrm{push}{}</tex> {{---}} <tex>1</tex>, и изменение потенциала {{---}} тоже <tex>1</tex>.#* <tex>a_{pop} = 1 - 1 = 0,</tex> так как время выполнения операции <tex>\mathrm{pop}{}</tex> {{---}} <tex>1</tex>, а изменение потенциала {{---}} <tex>-1</tex>.#* <tex>a_{multipop} = k - k = 0,</tex> так как время выполнения операции <tex>\mathrm{multipop}{(k) }</tex> {{---}} <tex>k</tex>, а изменение потенциала {{---}} <tex>-k</tex>.# Для любого <tex>i: \enskip \Phi_i = O(n),</tex> так как элементов в стеке не может быть больше <tex>n</tex>

Рассмотрим хэш-таблицы, использующие цепочки для разрешения коллизий. Для того, чтобы поиск элемента в цепочке не начал слишком сильно влиять на производительность, введём величину <tex> \alpha </tex> {{--- }} фактор загруженности(load factor) нашей таблицы.Пусть в нашей таблице размером <tex> m </tex> хранится <tex> n </tex> элементов, тогда <texdpi = "150"> \alpha = \fracgenfrac{}{}{}{}{n}{m} </tex>Введём значение <tex>\alpha_{max}</tex>, при превышении которого таблица будет пересоздана с увеличением размера и все элементы будут перераспределены по-новому(rehashing). Аналогично будем пересоздавать таблицу с уменьшением размера при удалении элемента.Из-за этого сложность операции <tex>\mathrm{add}{}</tex> из <tex> O(1) </tex> станет в худшем случае <tex> O(n) </tex>, так как для пересоздания таблицы нам требуется <tex> O(n) </tex> операций.Стоит отметить, что изменение размера массива всегда должно быть геометрическим(в <tex> k </tex> раз), потому как при изменении размера на константу нам потребуется <tex>O(n)</tex> раз пересоздать таблицу, что приведёт к сложности операции <tex>\mathrm{add}{}</tex> в <tex> O(n^2) </tex>.

Введём такую потенциальную функцию, что она будет "запасать" время по мере удаления фактора загруженности от <texdpi = "150">\fracgenfrac{}{}{}{}{1}{2}</tex>:<tex> \phi Phi = 2|{n - m/2}| </tex>Предположим, не умаляя общности, что<tex>\alpha_{max} = 1</tex>.

Операция #<tex>\mathrm{add}{}</tex>: <tex>\, n</tex> увеличивается на единицу. Следовательно, имеются три случая: #*<texdpi = "150">\fracgenfrac{}{}{}{}{1}{2} \leq leqslant \alpha < 1 </tex>: потенциал увеличивается на <tex>2</tex>, следовательно амортизированное время {{--- }} <tex>1 + 2 = 3</tex>. #*<texdpi = "150">\alpha < \fracgenfrac{}{}{}{}{1}{2}</tex>: потенциал уменьшается на <tex>2</tex>, и амортизированное время <tex> 1 - 2 = -1 </tex>. #*<tex>\alpha = 1</tex>: Таблица увеличивается в размере, так что реальная сложность {{--- }} <tex> 1 + m </tex>. Но потенциал изменяется с <tex>m</tex> до нуля, следовательно амортизационная сложность {{--- }} <tex> 1 + m - m = 1</tex>. #<tex>\mathrm{find}{}</tex>: Рассмотрим два случая:#* Элементы распределяются по таблице достаточно равномерно:время поиска элемента в списке {{---}} <tex>O(1)</tex> Потенциал , потенциал не изменяется, следовательно и реальная, и амортизированная сложности {{--- }} <tex>1</tex>.#* В случае, если все элементы оказываются размещены в одном списке, время поиска элемента достигает <tex>O(n)</tex>. Это время может быть улучшено до <tex>O(\log n)</tex>, если вместо списков использовать сбалансированные деревья поиска (например, в <tex>\mathrm{Java\ 8}{}</tex> ввели двоичные деревья для стандартной коллекции <tex>\mathrm{HashSet}{}</tex>).#<tex>\mathrm{remove}{}</tex>: <tex> n</tex> уменьшается на единицу. Возможны три два случая: #*<texdpi = "150">\fracgenfrac{}{}{}{}{1}{2} \leq leqslant \alpha < 1 </tex>: потенциал уменьшается на 2, и амортизированное время <tex> 1 - 2 = -1 </tex>. #*<texdpi = "150">\alpha < \fracgenfrac{}{}{}{}{1}{2}</tex>: потенциал увеличивается на 2, следовательно амортизированное время {{--- }} <tex>1 + 2 = 3</tex>.

В каждом случае амортизированное время одной операции в среднем случае {{--- }} <tex>O(1)</tex>, в худшем случае {{---}} <tex>O(n)</tex>. Если мы создадим нашу таблицу так, что <texdpi = "150">\alpha = \fracgenfrac{}{}{}{}{1}{2}</tex>, то изначально потенциал будет равен нулю. И так мы будем знать, что потенциал никогда не станет меньше этого значения; в итоге амортизированная стоимость будет верхней границей реальной оценки. Следовательно, сложность последовательности из <tex> n</tex> операций в среднем случае будет равна <tex>O(n)</tex>.

Представим, что использование определенного количества времени равносильно использованию определенного количества монет (плата за выполнение каждой операции). В методе предоплаты каждому типу операций присваивается своя учётная стоимость. Эта стоимость может быть больше фактической, в таком случае лишние монеты используются как резерв для выполнения других операций в будущем, а может быть меньше, тогда гарантируется, что текущего накопленного резерва достаточно для выполнения операции. Для доказательства оценки средней амортизационной стоимости <tex>O(f(n, m))</tex> нужно построить учётные стоимости так, что для каждой операции она будет составлять <tex>O(f(n, m))</tex>. Тогда для последовательности из <tex>n</tex> операций суммарно будет затрачено <tex>n \cdot O(f(n, m))</tex> монет, следовательно, cредняя амортизационная стоимость операций будет <tex dpi = "150">a = \fracgenfrac{}{}{}{}{\sum\limits^{n}_{i = 1} {t_i}}{n} = \fracgenfrac{}{}{}{}{n \cdot O(f(n, m))}{n}</tex> <tex>= O(f(n, m))</tex>.

Опять же рассмотрим стек =====Стек с операцией <tex>multipop(a)</tex>. =====При выполнении операции <tex>\mathrm{push}{}</tex> будем использовать две монеты {{---}} одну для самой операции, а вторую {{---}} в качестве резерва. Тогда для операций <tex>\mathrm{pop}{}</tex> и <tex>\mathrm{multipop}{}</tex> учётную стоимость можно принять равной нулю и использовать для удаления элемента монету, оставшуюся после операции <tex>\mathrm{push}{}</tex>.

Рассмотрим реализацию очереди на двух стекахдругой случай. Пусть наши стеки имеют операции <tex>push</tex> и <tex>pop</tex>Предположим, обе стоимостью мы имеем <tex>1n</tex>.Пусть каждое добавление операций добавления элемента в очередь будет стоить 3 монетыи операцию удаления последнего добавленного в очередь элемента. Это покроет стоимость операций Очевидно, это потребует <tex>pushO(n)</tex> времени в целом. Но известно, что каждый элемент был добавлен в стеки и удалён из них не более <tex>pop1</tex> для переноса элемента из первого стека во второйраза, если потребуетсяследовательно, и ещё 1 монета будет нужна для того, чтобы поместить элемент амортизированная стоимость каждой операции в первый стек. Стоимость удаления элемента из очереди нашей последовательности {{--- }} <tex>O(1 монета(она потребуется нам для удаления элемента из второго стека)</tex>.

Таким образом, амортизационная стоимость каждой операции для очереди {{- --}} <tex> O(1) </tex>.== См. также ==*[[Хеш-таблица]]

==ЛитератураИсточники информации==* Томас Кормен. Алгоритмы. Построение и анализ. - Санкт-Петербург, 2005. стр. 483-491.* [[wikipedia:Amortized_analysis | Wikipedia {{---}} Amortized analysis]]