Алгоритм Тарьяна поиска LCA за О(1) в оффлайне

Алгоритм Тарьяна позволяет находить наименьшего общего предка двух вершин в дереве, если все запросы известны заранее (offline). Каждый запрос к дереву - это 2 вершины [math]v[/math],[math]u[/math] для которых нужно найти такую вершину [math]k[/math], что [math]k[/math]-предок вершин [math]v[/math] и [math]u[/math], и [math]k[/math] имеет максимальную глубину из всех таких вершин. Алгоритм позволяет найти ответы для дерева из n вершин и m запросов за время [math]O (n + m)[/math], т.е при достаточно большом m, за [math]O (1)[/math] на запрос.

Алгоритм

Подвесим наше дерево за любую вершину, и запустим обход в глубину из её. Ответ на каждый запрос мы найдём в течении этого [math]dfs'a[/math]. Ответ для вершин [math]v[/math], [math]u[/math] находится, когда мы уже посетили вершины [math]u[/math], а в [math]v[/math] обработали всех сыновей и собираемся выйти из неё.

Зафиксируем момент, мы собираемся выйти из вершины [math]v[/math] (обработали всех сыновей) и хотим узнать ответ для пары [math]v[/math], [math]u[/math]. Тогда заметим что ответ —, это либо вершина [math]v[/math], либо какой-то её предок. Значит нам нужно найти предок вершины [math]v[/math], который является предком вершины [math]u[/math] с наибольшей глубиной. Заметим, что при фиксированном [math]v[/math] каждый из предков вершины [math]v[/math] порождает некоторый класс вершин [math]u[/math], для которых он является ответом (в этом классе содержатся все вершины которые находятся "слева" от этого предка).

На рисунке разные цвета-разные классы,а белые вершины ещё не просмотренные в [math]dfs[/math].

Классы этих вершин - не пересекаются, а значит мы их можем эффективно обрабатывать с помощью [math]dsu[/math]. Будем поддерживать массив [math]ancestor[v][/math] - представитель множества в котором содержится вершина [math]v[/math]. Для каждого класса мы образуем множество, и представителя этого множества. Когда мы приходим в новую вершину [math]v[/math] мы должны добавить её в новый класс ([math]ancestor[v] = v[/math]), а когда просмотрим всё поддерево какого-то ребёнка, мы должны объединить это поддерево с нашим классом (операция [math]union[/math]), и не забыть установить представителя как вершину [math]v[/math] (в зависимости от реализации это может быть какая-то другая вершина).

Зафиксируем вершины [math]v[/math], и выделим путь от корня до этой вершины. Теперь все рёбра "левее" этого пути уже добавлены в [math]dsu[/math], все рёбра правее — ещё не обработаны, а все рёбра на пути — обработаны, но в [math]dsu[/math] ещё не добавлены, так как в [math]dsu[/math] мы добавляем при выходе. Тогда можно заметить, что любая вершина из обработанных в [math]dsu[/math] цепляются к какой-то вершине текущего пути, в [math]dfs[/math]. К самой первой вершине этого пути, до которой мы доберёмся, если будем просто подниматься. Очевидно, это и есть [math]lca[/math].

После того как мы обработали всех детей вершины [math]v[/math], мы можем ответить на все запросы вида ([math]v[/math],[math]u[/math]) где [math]u[/math]-уже посещённая вершина. Нетрудно заметить что ответ для [math]lca(v, u) = ancestor(find(u))[/math].Так же можно понять что для каждого запроса это условие(что одна вершина уже посещена, а другую мы обрабатываем) выполнится только один раз.

Реализация

vector <bool> visited;   
vector <int> query[n]; 

int dsu_get (int v) {
       return v == dsu[v] ? v : dsu[v] = dsu_get (dsu[v]);
}            

unite (int a, int b, int new_ancestor) {
       a = dsu_get (a);
       b = dsu_get (b);
       dsu[a] = b;
       ancestor[b] = new_ancestor;
}       
  
dfs(int v) {
    visited[v] = true;                      
    for (u таких, что (v, u) — ребро в G)   
        if (not visited[u])                  
            dfs(u);
            union(v, u, v);
    for (i = 0; i < query[v].size; i++)
        if (visited[query[v][i]])
            cout << "LCA " << v << " " << u << " = " << ancestor[dsu_get(q[v][i])];
}
  
int main() {
    dfs(1); // можно запускать от любой вершины
}

Оценка сложности

Она состоит из нескольких оценок. Во-первых [math]dfs[/math] работает О (n). Во-вторых, операции по объединению множеств, которые в сумме для всех разумных [math]n[/math] затрачивают [math]О (n)[/math] операций. В-третьих, для каждого запроса проверка условия и определение результата, опять же, для всех разумных [math]n[/math] выполняется за [math]О (1)[/math]. Итоговая асимптотика получается [math]O (n + m)[/math], но при достаточно больших [math]m[/math] ответ за [math]O (1)[/math] на один запрос.