Троичный поиск

Троичный поиск (ternary search, тернарный поиск) — метод поиска минимума или максимума функции на отрезке, которая либо сначала строго возрастает, затем строго убывает, либо наоборот.

Алгоритм

Пример. [math]f(a) \lt f(b) \Rightarrow x_{min} \in [l, b][/math]

Рассмотрим этот алгоритм на примере поиска минимума (поиск максимума аналогичен).

Пусть функция [math]f(x)[/math] на отрезке [math][l, r][/math] имеет минимум, и мы хотим найти точку [math]x_{min}[/math], в которой он достигается.

Посчитаем значения функции в точках [math] a = l + \dfrac{(r-l)}{3} [/math] и [math] b = l + \dfrac{2(r-l)}{3} [/math].

Так как в точке [math]x_{min}[/math] минимум, то на отрезке [math][l, x_{min}][/math] функция убывает, а на [math][x_{min}, r][/math] — возрастает, то есть

[math] \forall x', x'' \in [l, r]: \\ l \lt x' \lt x'' \lt x_{min} \Rightarrow f(l) \gt f(x') \gt f(x'') \gt f(x_{min}) \\ x_{min} \lt x' \lt x'' \lt r \Rightarrow f(x_{min}) \lt f(x') \lt f(x'') \lt f(r) [/math].

Значит если [math]f(a) \lt f(b)[/math], то [math]x_{min} \in [l, b][/math], аналогично из [math]f(a) \gt f(b)[/math] следует [math] x_{min} \in [a, r][/math].

Тогда нам нужно изменить границы поиска и искать дальше, пока не будет достигнута необходимая точность, то есть [math] r-l \lt \varepsilon [/math].

Из рассуждений и рисунка может возникнуть идея взять, например, отрезок [math][l, a][/math] вместо отрезка [math][l, b][/math]. Но этого делать нельзя, потому что мы не умеем различать случаи, когда [math]f(a) \lt f(b)[/math] и [math]a[/math] слева или справа от минимума.

Можно заметить, что если мы всегда будем брать отрезок [math][l, b][/math] при [math]f(a) \lt f(b)[/math] или [math][a, r][/math] при [math]f(a) \gt f(b)[/math] , то минимум функции всегда будет в нашем отрезке. Если [math]f(a) = f(b)[/math], то можно взять любой отрезок.

Псевдокод

Рекурсивный вариант:

double ternarySearchMin(double f(), double left, double right, double eps):
    if right - left < eps
        return (left + right) / 2
    a = (left * 2 + right) / 3
    b = (left + right * 2) / 3
    if f(a) < f(b)
        return ternarySearchMin(f, left, b, eps)
    else
        return ternarySearchMin(f, a, right, eps)

Итеративный вариант:

double ternarySearchMin(double f(), double left, double right, double eps): 
    while right - left > eps 
        a = (left * 2 + right) / 3
        b = (left + right * 2) / 3
        if f(a) < f(b)
            right = b
        else
            left = a
    return (left + right) / 2

Время работы

Так как на каждой итерации мы считаем два значения функции и уменьшаем область поиска в полтора раза, пока [math] r - l \gt \varepsilon[/math], то время работы алгоритма составит [math]2 \log_{\frac32} \left(\dfrac{r - l}{\varepsilon}\right)[/math]

См. также

• Поиск с помощью золотого сечения

Источники информации

• Дональд Кнут — Искусство программирования. Том 3. Сортировка и поиск. / Knuth D.E. — The Art of Computer Programming. Vol. 3. Sorting and Searching.
• Троичный поиск — Википедия
• Ternary search — Wikipedia