Изменения

'''Дерево отрезков''' (англ. ''Segment tree'') {{---}} это структура данных, которая позволяет за асимптотику <tex>O(\log n)</tex> реализовать любые операции, определяемые на [[Моноид | моноиде]]. Например, следующего вида: нахождение суммы (задача RSQ), минимума или максимума (задача RMQ) элементов массива в заданном отрезке (<tex>a[l...r]</tex>,a[где <tex>l+1],\dots,a[</tex> и <tex>r]</tex>.поступают на вход алгоритма)

При этом дополнительно возможно изменение элементов массива: как изменение значения одного элемента, так и [[Несогласованные поддеревья. Реализация массового обновления | изменение элементов на целом подотрезке массива]], например разрешается присвоить всем элементам <tex>a[l \dots ...r]</tex> какое-либо значение, либо прибавить ко всем элементам массива какое-либо число. Структура занимает <tex>O(n)</tex> памяти, а ее построение требует <tex>O(n)</tex> времени.

Структура представляет собой дерево, листьями которого являются элементы исходного массива. Другие вершины этого дерева имеют по два 2 ребенка и содержат результат операции от своих детей (например минимум или сумму). Таким образом, корень содержит результат искомой функции от всего массива <tex>[0 \dots ...n-1]</tex>, левый ребёнок корня содержит результат функции на <tex dpi=120>[0\dots...\frac{n}{2}]</tex>, а правый, соответственно результат на <tex dpi=120>[\frac{n}{2}+1 \dots ...n-1]</tex>. И так далее, продвигаясь вглубь дерева.

Пусть исходный массив <tex>a</tex> состоит из <tex>n</tex> элементов. Для удобства построения увеличим длину массива <tex>a</tex> так, чтобы она равнялась ближайшей степени двойки, т.е. <tex>2^k</tex>, где <tex>2^k \geqslant ge n</tex>. Это сделано, для того чтобы не допустить обращение к несуществующим элементам массива при дальнейшем процессе построения. Пустые элементы необходимо заполнить нейтральными элементами моноида. Тогда для хранения дерева отрезков понадобится массив <tex>t</tex> из <tex>2^{k+1}</tex> элементов, поскольку в худшем случае количество вершин в дереве можно оценить суммой <tex>n+\frac{n}{2}+\frac{n}{4} \dots ...+1 < 2n</tex>, где <tex>n=2^k</tex>. Таким образом, структура занимает линейную память.

Процесс построения дерева заключается в заполнении массива <tex>t</tex>. Заполним этот массив таким образом, чтобы <tex>i</tex>-й элемент являлся бы результатом некоторой бинарной операции <tex>\circ</tex> (для каждой конкретной задачи своей) от элементов c номерами <tex>2i+1</tex> и <tex>2i+2</tex>, то есть родитель являлся результатом бинарной операции от своих сыновей. Один из вариантов — делать рекурсивно. Пусть у нас имеются исходный массив <tex>a</tex>, а также переменные <tex>tl</tex> и <tex>tr</tex>, обозначающие границы текущего полуинтервала <tex>[tl, tr)</tex>. Запускаем процедуру построения от корня дерева отрезков (<tex>i=0</tex>, <tex>tl=0</tex>, <tex>tr=n</tex>), а сама процедура построения, если её вызвали не от листа, вызывает себя от каждого из двух сыновей и суммирует вычисленные значения, а если её вызвали от листа — то просто записывает в себя значение этого элемента массива (Для этого у нас есть исходный массив <tex> a </tex>). Асимптотика построения дерева отрезков составит , таким образом, <tex>O(n)</tex>.

Выделяют два основных способа построения дерева отрезков: построение снизу и построение сверху. При построении [[Реализация запроса в дереве отрезков снизу | снизу]] алгоритм поднимается от листьев к корню (Просто начинаем заполнять элементы массива <tex>t</tex> от большего индекса к меньшему, таким образом при заполнении элемента <tex> i </tex> его дети <tex>2i+1</tex> и <tex>2i+2</tex> уже будут заполнены, и мы с легкостью посчитаем бинарную операцию от них), а при построении [[Реализация запроса в дереве отрезков сверху | сверху ]] спускается от корня к листьям. Особенные изменения появляются в реализации запросов к таким деревьям отрезков.

'''function''' treeBuild(a[], i, tl, tr): <font color="green">// Мы находимся в вершине с номером i, который отвечает за полуинтервал [tl, tr)</font>

tm = (tl + tr) / 2 <font color="green">//середина отрезка</font> treeBuildTreeBuild(a, 2 * i + 1, tl, tm) treeBuildTreeBuild(a, 2 * i + 2, tm, tr)

<code> '''function''' treeBuild(a[]): '''for''' i = n - 1 0 .. 2 * n - 1 t[n - 1 + i] = a[i - n - 1] '''for''' i = n - 2 .. 0 t[i] = t[2 * i + 1] <tex> \circ </tex> t[2 * i + 2]</code>

Для построения персистентного дерева отрезков из <tex>n</tex> элементов необходимо пройтись по всему деревуприменить <tex>n</tex> раз операцию добавления элемента к последней версии дерева. Для того, попутно создавая все необходимые вершины. В листах создавать вершинучтобы добавить новый элемент к <tex>k</tex>-ой версии дерева, необходимо проверить, хранящую соответствующее значениеявляется ли оно полным бинарным. Промежуточные же вершины строим от левого и правого сыновей  '''function''' treeBuild(a[]Если да, tlто создадим новый корень, tr): '''if''' tr - tl == 1 '''return''' Vertex(aлевым сыном сделаем <tex>roots[tlk]) tm = (tl + tr) </ 2 '''return''' Vertex(treeBuild(a[]tex>. Иначе, сделаем копию корня исходной версии. Добавим корень в конец массива корней. Далее, спускаясь от корня к первому свободному листу, будем создавать несуществующие узлы и клонировать существующие. После этого в новой ветке необходимо обновить значение функции и некоторые указатели дочерних элементов. Поэтому, tlвозвращаясь из рекурсии, tm)будем менять один указатель на только что созданную или скопированную вершину, treeBuild(a[]а также обновим значение функции, tmдля которой строилось дерево. После этой операции в дереве появится новая версия, tr))содержащая вставленный элемент.

Здесь изображено персистентное дерево отрезков с операцией минимум, в котором изначально было <tex>3</tex> элементавершины. Сперва к нему была добавлена вершина со значением <tex>2</tex>, а потом изменена вершина со значением <tex>7</tex>. Цвет ребер и вершин соответствует времени их появления. Синий цвет элементов означает, что они были изначально, зеленый {{---}} что они появились после добавления, а оранжевый {{---}} что они появились после изменения элемента.  '''function''' update(v, tl, tr, pos, val): '''if''' tr - tl == 1 '''return''' Vertex(val) tm = (tl + tr) / 2 '''if''' pos <tex>\leqslant</tex> tm '''return''' Vertex(update(v.l, tl, tm, pos, val), v.r) '''else''' '''return''' Vertex(v.l, update(v.r, tm, tr, pos, val))

* [[http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A0%D0%B5%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D0%B0_%D0%B2_%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%B5_%D0%BE%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%BA%D0%BE%D0%B2_%D1%81%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D1%83 - Реализация запроса в дереве запросов к дереву отрезков сверху]]

* [[http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A0%D0%B5%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D0%B0_%D0%B2_%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%B5_%D0%BE%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%BA%D0%BE%D0%B2_%D1%81%D0%BD%D0%B8%D0%B7%D1%83 - Реализация запроса в дереве запросов к дереву отрезков снизу]]

* [[Несогласованные поддеревьяhttp://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9D%D0%B5%D1%81%D0%BE%D0%B3%D0%BB%D0%B0%D1%81%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D1%8C%D1%8F. _%D0%A0%D0%B5%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%BC%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BE%D0%B1%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F - Реализация массового обновления]]

* [[wikipediahttp://rain.ifmo.ru:Дерево отрезков|Википедия {{/cat/view.php/vis/trees/segment-2006 --}} Дерево Визуализатор дерева отрезков]] * [[wikipedia:Segment tree|Wikipedia {{---}} Segment tree]]

* [[wikipediahttp://e-maxx.ru/algo/segment_tree - MAXimal :Моноид|Википедия {{---}} Моноид]: algo :: Дерево отрезков]

* [http://rainru.ifmo.ru/cat/viewwikipedia.php/visorg/treeswiki/segment%D0%94%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%BE_%D0%BE%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%BA%D0%BE%D0%B2 -2006 Визуализатор дерева Дерево отрезков— Википедия]

* [http://e-maxxru.wikipedia.ruorg/algowiki/segment_tree MAXimal :: algo :: Дерево отрезковМоноид - Моноид — Википедия]