Участник:Yulya3102/Матан/Определения

Определения и факты

Список

• Ряды Тейлора основных элементарных функций
• Интеграл функции по параллелепипеду — обобщить на [math]\mathbb{R}^m[/math]: Интеграл_Римана_по_прямоугольнику
• Вектор скорости
• Произведение степенных рядов

Ряды Тейлора основных элементарных функций

http://ru.wikipedia.org/wiki/Ряд_Тейлора#.D0.A0.D1.8F.D0.B4.D1.8B_.D0.9C.D0.B0.D0.BA.D0.BB.D0.BE.D1.80.D0.B5.D0.BD.D0.B0_.D0.BD.D0.B5.D0.BA.D0.BE.D1.82.D0.BE.D1.80.D1.8B.D1.85_.D1.84.D1.83.D0.BD.D0.BA.D1.86.D0.B8.D0.B9

Локальный экстремум

Определение:

[math]x_0[/math] называется точкой локального максимума функции [math]f,[/math] если существует проколотая окрестность [math]\dot{U}(x_0)[/math] такая, что: [math]\forall x\in \dot{U}(x_0) \quad f(x) \le f(x_0);[/math] [math]x_0[/math] называется точкой локального минимума функции [math]f,[/math] если существует проколотая окрестность [math]\dot{U}(x_0)[/math] такая, что: [math]\forall x \in \dot{U}(x_0) \quad f(x) \ge f(x_0).[/math] Если неравенства выше строгие, то [math]x_0[/math] называется точкой строгого локального максимума или минимума соответственно.

Точка возрастания функции

Определение:

Пусть [math]f:\langle a,b\rangle\to\mathbb{R},\ x_0\in(a,b)[/math]. Если [math]\exists \delta\gt 0:\ \forall x\in(x_0-\delta,x_0)\ f(x)\le f(x_0)[/math] и [math]\forall x\in(x_0,x_0+\delta)\ f(x)\ge f(x_0)[/math], то [math]x_0[/math] называется точкой возрастания функции [math]f[/math].

Стационарная точка

Определение:

Пусть [math]f:\langle a,b\rangle\to\mathbb{R},\ x_0\in(a,b)[/math]. Если [math]f'(x_0)=0[/math], то [math]x_0[/math] называется стационарной точкой функции [math]f[/math]. Если [math]f'(x_0)=0[/math] или [math]f[/math] не дифференцируема в точке [math]x_0[/math], то [math]x_0[/math] называется критической точкой функции [math]f[/math].

Выпуклая функция

Определение:

Функция [math]f: \langle a,b\rangle \to \mathbb{R}[/math] называется: выпуклой вниз на [math]\langle a,b\rangle[/math], если [math]\forall x_1,x_2\in\langle a,b\rangle, \ t\in(0,1)[/math] выполняется неравенство [math]f(tx_1+(1-t)x_2)\le tf(x_1)+(1-t)f(x_2)[/math]; строго выпуклой вниз на [math]\langle a,b\rangle[/math], если [math]\forall x_1,x_2\in\langle a,b\rangle \ (x_1\ne x_2), \ t\in(0,1)[/math] выполняется неравенство [math]f(tx_1+(1-t)x_2) \lt tf(x_1)+(1-t)f(x_2)[/math]. Если выполняются противоположные неравенства, то функция [math]f[/math] называется соответственно выпуклой вверх или строго выпуклой вверх на [math]\langle a,b\rangle[/math]. Часто функции, которые только что были названы выпуклыми вниз, называют просто выпуклыми, а те, что были названы выпуклыми вверх, - вогнутыми.

Выпуклое множество в R^m

Определение:

Множество (на прямой, на плоскости, в трехмерном пространстве) называется выпуклым, если вместе в с любыми своими двумя точками оно содержит весь отрезок, их соединяющий.

Надграфик и подграфик

Надграфик

Определение:

Пусть [math]f:\langle a,b\rangle\to\mathbb{R}[/math]. Множество [math]\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x\in\langle a,b\rangle, y\ge f(x)\}[/math] называется надграфиком функции [math]f[/math].

Подграфик

Определение:

Пусть [math]f:[a,b]\to\mathbb{R},f\ge0[/math]. Множество [math]Q_f=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x\in[a,b],0\le y\le f(x)\}[/math] называется подграфиком функции [math]f[/math].

Опорная прямая

Определение:

Пусть [math]f:\langle a,b\rangle\to\mathbb{R},\ x_0\in\langle a,b\rangle[/math]. Прямая, задаваемая уравнением [math]y = \ell(x)[/math], называется опорной для функции [math]f[/math] в точке [math]x_0[/math], если [math]\forall x\in \langle a,b\rangle \ f(x_0)=\ell(x_0),\ f(x)\ge\ell(x)[/math]. Если же [math]\forall x\in \langle a,b\rangle\backslash\{x_0\} \ f(x_0)=\ell(x_0),\ f(x)\gt \ell(x)[/math], то прямая называется строго опорной для функции [math]f[/math] в точке [math]x_0[/math].

Первообразная

Определение:

Пусть [math]f, F:\langle a,b\rangle\to\mathbb{R}[/math]. Функция [math]F[/math] называется первообразной функции [math]f[/math] на [math]\langle a,b\rangle[/math], если [math]\forall x\in\langle a,b\rangle\ F'(x)=f(x)[/math].

Таблица первообразных

1. [math]\int0dx=C[/math]

2. [math]\int x^\alpha dx={x^{\alpha+1}\over\alpha+1}+C,\ \alpha\ne-1[/math]

3. [math]\int {dx\over x}=ln\vert x\vert+C[/math]

4. [math]\int a^x dx={a^x\over \ln a}+C[/math]

5. [math]\int \sin x dx=-\cos x+C[/math]

6. [math]\int \cos x dx=\sin x+C[/math]

7. [math]\int {dx\over \cos ^2 x}=\tan x+C[/math]

8. [math]\int {dx\over \sin ^2x}=-\cot x+C[/math]

9. [math]\int{dx\over\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C=-\arccos x+C[/math]

10. [math]\int{dx\over 1+x^2}=\arctan x+C[/math]

11. [math]\int{dx\over\sqrt{x^2\pm1}}=\ln\vert x+\sqrt{x^2\pm1}\vert+C[/math]

12. [math]\int{dx\over1-x^2}={1\over2}\ln\left\vert{1+x\over1-x}\right\vert+C[/math]

Дробление отрезка

Определение:

Пусть [math][a,b][/math] - невырожденный отрезок. Набор точек [math]\tau = \{x_k\}^n_{k=0}:\ a=x_0\lt x_1\lt ...\lt x_n=b[/math] называется дроблением отрезка [math][a,b][/math]. Отрезки [math][x_k,x_{k+1}]\ (k\in[0:n-1])[/math] называют отрезками дробления, через [math]\Delta x_k[/math] обозначается длина [math]k[/math]-го отрезка дробления. Величина [math]\lambda = \lambda_\tau=\underset{0\le k\le n-1}{max}\Delta x_k[/math] называется рангом или мелкостью дробления [math]\tau[/math]. Набор точек [math]\xi=\{\xi_k\}^{n-1}_{k=0}[/math], таких что [math]\xi_k\in[x_k,x_{k+1}]\ \forall k\in[0:n-1][/math], называется оснащением дробления. Дробление вместе с его оснащением, то есть пара [math](\tau, \xi)[/math], называется оснащенным дроблением.

Дробление параллелепипеда

Определение:

Пусть параллелепипед задан двумя точками [math]a,b\in\mathbb{R}^m[/math]. Дроблением параллелепипеда называется множество дроблений [math]\lambda_1,...,\lambda_m[/math], где [math]\lambda_i[/math] - дробление отрезка [math][a_i, b_i][/math].

Что значит, что одно дробление мельче другого

//для отрезка

Определение:

Дробление [math]a[/math] мельче дробления [math]b[/math], если набор точек дробления [math]a[/math] содержится в наборе этих точек для [math]b[/math].

//для параллелепипеда

Определение:

Дробление мельче, если для всех дроблений из [math]\lambda[/math] верно, что дробление из одного мельче дробления из другого.

//Копипаста http://vk.com/topic-29253653_26076730?post=1937

Сумма Дарбу

Определение:

Пусть [math]f: [a,b]\to\mathbb{R},\ \tau=\{x_k\}^n_{k=0}[/math] - дробление [math][a,b][/math], [math]M_k=\underset{x\in[x_k,x_{k+1}]}{\sup}f(x),\ m_k=\underset{x\in[x_k,x_{k+1}]}{\inf}f(x),\ k\in[0:n-1][/math]. Суммы [math]S=S_\tau(f)=\underset{k=0}{\overset{n-1}{\sum}}M_k\Delta x_k[/math] и [math]s=s_\tau(f)=\underset{k=0}{\overset{n-1}{\sum}}m_k\Delta x_k[/math] называются верхней и нижней интегральными суммами или суммами Дарбу функции [math]f[/math], отвечающими дроблению [math]\tau[/math].

Верхний интеграл Дарбу

Определение:

Пусть [math]f:[a,b]\to\mathbb{R}[/math]. Величины [math]I^*=\underset{\tau}{\inf}S_\tau[/math], и [math]I_*=\underset{\tau}{\sup}s_\tau[/math] называются верхним и нижним интегралами Дарбу функции [math]f[/math].

Интегрируемая по Риману функция

Определение:

Пусть [math]f:[a,b]\to\mathbb{R}[/math]. Если существует предел интегральных сумм [math]\underset{\lambda\to0}{\lim}\sigma[/math], равный числу [math]I[/math], то функция [math]f[/math] называется интегрируемой по Риману на [math][a,b][/math], а число [math]I[/math] - интегралом (определенным интегралом, интегралом Римана) от функции [math]f[/math] по отрезку [math][a,b][/math] и обозначается [math]\int^b_af[/math].

Риманова сумма

Определение:

Пусть [math]f:[a,b]\to\mathbb{R}[/math]. Суммы [math]\sigma=\sigma_\tau(f,\xi)=\underset{k=0}{\overset{n-1}{\sum}}f(\xi_k)\Delta x_k[/math] называются интегральными суммами или суммами Римана функции [math]f[/math], отвечающими оснащенному дроблению [math](\tau,\xi)[/math].

Колебание функции на множестве

Определение:

Пусть [math]f:D\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/math]. Величина [math]\omega(f)_D=\underset{x,y\in D}{\sup}(f(x)-f(y))[/math] называется колебанием функции [math]f[/math] на множестве [math]D[/math].

Множество объема 0

Определение:

Множество [math]A\subset\mathbb{R}^n[/math] имеет объём 0, если [math]\forall\varepsilon\gt 0\ \exists[/math] покрытие множества [math]A[/math] брусами [math]B_1,...,B_k:\underset{i=1}{\overset{k}{\sum}} V(B_i)\lt \varepsilon[/math].

Множество меры 0

Определение:

Говорят, что множество [math]E\subset\mathbb{R}[/math] имеет нулевую меру, если [math]\forall\varepsilon\gt 0[/math] множество [math]E[/math] можно заключить в не более чем счетное объединение интервалов, суммарная длина которых меньше [math]\varepsilon[/math].

Интеграл с переменным верхним пределом

Определение:

Пусть [math]E\subset\mathbb{R}[/math] - невырожденный промежуток [math]f:E\to\mathbb{R},\ f[/math] интегрируема на каждом отрезке, содержащемся в [math]E,\ a\in E[/math]. Функция [math]\Phi(x)=\int_a^xf,\ x\in E[/math] называется интегралом с переменным верхним пределом.

Кусочно-непрерывная функция

Определение:

Функция [math]f:[a,b]\to\mathbb{R}[/math] называется кусочно-непрерывной на [math][a,b][/math], если множество ее точек разрыва пусто или конечно, и все имеющиеся разрывы - первого рода.

Почти первообразная

Определение:

Пусть [math]f, F:\langle a,b\rangle\to\mathbb{R}[/math]. Функция [math]F[/math] называется почти первообразной функции [math]f[/math] на [math]\langle a,b\rangle[/math], если [math]F'(x)=f(x)[/math] во всех, кроме конечного множества, точках промежутка [math]\langle a, b\rangle[/math].

Несобственный интеграл

Определение:

Функция [math] f [/math] называется локально интегрируемой (по Риману) на промежутке [math] E [/math], если [math] f [/math] интегрируема (по Риману) на каждом отрезке, содержащемся в [math] E [/math]. Множество функций, локально интегрируемых на [math] E [/math], обозначается через [math] R_{loc}(E) [/math].

Определение:

Пусть [math]-\infty\lt a\lt b\le+\infty,\ f\in R_{loc}[a,b)[/math]. Символ [math]\int_a^{\to b}f[/math] называется несобственным интегралом. Интегралы [math]\int_a^Af[/math] при [math]A\in[a,b)[/math] называются частными или частичными. Если [math]\exists \underset{A\to b-}{\lim}\int_a^Af[/math] в [math]\overline{\mathbb{R}}[/math], равный [math]I[/math], то символу [math]\int_a^{\to b}f[/math] приписывают значение [math]I[/math]. В противном случае символу [math]\int_a^{\to b}f[/math] не приписывают никакого значения. Если [math]I \in \mathbb{R}[/math], то говорят, что несобственный интеграл сходится; в противном случае говорят, что он расходится.

Абсолютно сходящийся интеграл

Определение:

Интеграл [math]\int_a^{\to b}f[/math] называют абсолютно сходящимся, если сходится интеграл [math]\int_a^{\to b}|f|[/math].

Аддитивная функция промежутка

Определение:

Пусть дан отрезок [math][A, B][/math]. Обозначим [math]\psi = \{[\alpha, \beta] \subset [A, B]\}[/math]. [math]T: \psi \to \mathbb{R}[/math] называют функцией промежутка. Она будет аддитивной, если [math]T[\alpha, \beta] + T[\beta, \gamma] = T[\alpha, \gamma][/math]

Плотность аддитивной функции промежутка

Определение:

[math]T: \psi \to \mathbb{R}[/math] — аддитивная функция промежутка. Пусть [math]c \in [\alpha, \beta][/math]. Тогда плотностью называется величина [math]p(c) = \underset{\alpha - \beta \to 0}{\lim}{T[\alpha, \beta]\over {\beta - \alpha}}[/math].

Площадь

Определение:

Площадью называется функционал [math] S: \{ P \} \to [0, + \infty ) [/math], заданный на некотором классе [math] \{ P \} [/math] подмножеств плоскости, называемых квадрируемыми фигурами, и обладающий следующими тремя свойствами: 1. Аддитивность. Если [math] P_1 [/math] и [math] P_2 [/math] — квадрируемые фигуры, причём [math] P_1 \cap P_2 = \varnothing [/math], то [math] P_1 \cup P_2 [/math] — квадрируемая фигура и [math] S(P_1 \cup P_2) = S(P_1) + S(P_2) [/math]. 2. Нормированность на прямоугольниках. Площадь прямоугольника со сторонами [math] a [/math] и [math] b [/math] равна [math] ab [/math]. 3. Инвариантность относительно движений. Если [math] P [/math] — квадрируемая фигура, [math] U [/math] — движение плоскости (то есть отображение [math] \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n [/math], сохраняющее расстояние между точками), то [math] U(P) [/math] — квадрируемая фигура и [math] S(U(P)) = S(P) [/math].

Длина пути

Определение:

Путём в [math] \mathbb{R}^n [/math] называется непрерывное отображение отрезка в [math] \mathbb{R}^n [/math]: [math] \gamma = (\gamma_1, ..., \gamma_m):[a, b] \to \mathbb{R}^m [/math]. Точка [math] \gamma(a) [/math] называется началом, [math] \gamma(b) [/math] — концом пути. Множество [math] \gamma^* = \gamma([a, b]) [/math], то есть образ отрезка [math] [a, b] [/math], называется носителем пути.

Определение:

Пусть [math] \gamma [/math] — путь в [math] \mathbb{R}^n [/math]. Величина [math] s_{\gamma} = \underset{\tau}{\sup}(\ell_{\tau}) [/math] называется длиной пути [math] \gamma [/math].

Сумма ряда

Определение:

Пусть [math]\{a_k\}_{k=1}^\infty[/math] - вещественная или комплексная последовательность. Символ [math]\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k = a_1+a_2+a_3+...[/math] называется числовым рядом, а числа [math]a_k[/math] - его членами. Если последовательность [math]\{S_n\}_{n=1}^\infty[/math] имеет предел [math]S[/math], то [math]S[/math] называют суммой ряда.

Сходящийся ряд, расходящийся ряд

Определение:

Если последовательность [math]\{S_n\}_{n=1}^\infty[/math] сходится, то говорят, что ряд сходится, в противном случае говорят, что он расходится.

Остаток сходящегося ряда

Определение:

Ряд [math]\underset{k=m+1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k[/math] называется остатком ряда [math]\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k[/math] после [math]m[/math]-го члена.

Абсолютно сходящийся ряд

Определение:

Говорят, что ряд [math]\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k[/math] сходится абсолютно, если сходится ряд [math]\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}|a_k|[/math].

Преобразование Абеля

Лемма (Преобразование Абеля):

Пусть [math]\{a_k\},\{b_k\}[/math] - числовые посл-ти, [math]A_0\in\mathbb{R}, A_k=\sum_{j=1}^k a_j+A_0[/math] при [math]k\in\mathbb{N}[/math]. Тогда [math]\forall n\in\mathbb{N}[/math] [math]\sum_{k=1}^n a_kb_k=A_nb_n-A_0b_1+\sum_{k=1}^{n-1}A_k(b_k-b_{k+1}).[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]\sum_{k=1}^n a_kb_k=\sum_{k=1}^n(A_k-A_{k-1})b_k=\sum_{k=1}^nA_kb_k-\sum_{k=1}^nA_{k-1}b_k=\sum_{k=1}^nA_kb_k-\sum_{k=0}^{n-1}A_kb_{k+1}=A_nb_n-A_0b_1+\sum_{k=1}^{n-1}A_k(b_k-b_{k+1}).[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Преобразование Абеля — дискретный аналог интегрирования по частям [math]\int_1^nfg=F(n)g(n)-F(1)g(1)-\int_1^nFg'[/math]

Перестановка ряда

Определение:

Пусть [math]\varphi:\mathbb{N}\to\mathbb{N}[/math] — биекция (перестановка натурального ряда). Тогда говорят, что ряд [math]\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_{\varphi(k)}[/math] получен из ряда [math]\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k[/math] перестановкой членов или является перестановкой ряда [math]\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}a_k[/math].

Произведение рядов

Определение:

Пусть даны ряды [math]\underset{k=0}{\overset{\infty}{\sum}}a_k[/math] и [math]\underset{k=0}{\overset{\infty}{\sum}}b_k[/math]. Их произведением называют ряд [math]\underset{k=0}{\overset{\infty}{\sum}}a_k b_k[/math]

Поточечная сходимость функционального ряда

Определение:

[math]\{u_k(x)\}^{\infty}_{k=1} : E \to \mathbb{C}[/math] Ряд [math]\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}u_k(x)[/math] сходится поточечно к [math]u(x)[/math], если [math]\forall{x} \in E \hspace{1mm} \exists \underset{n \to \infty}{\lim} \underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}u_k(x) = u(x)[/math]

Равномерная сходимость функционального ряда

Определение:

[math]\{u_k(x)\}^{\infty}_{k=1} : E \to \mathbb{C}[/math]. Ряд [math]\underset{k=1}{\overset{\infty}{\sum}}u_k(x)[/math] сходится равномерно к [math]u(x)[/math], если [math]\underset{x \in E}{\sup}{|u_k(x) - u(x)|} \underset{k\to\infty}{\to} 0[/math]

Метрика в пространстве непрерывных ограниченных функций

Определение:

Пусть [math]F(X,\;Y)[/math] — пространство непрерывных и ограниченных отображений из [math]X[/math] в метрическое пространство [math]Y[/math]. Расстояние между двумя отображениями [math]f_1[/math] и [math]f_2[/math] из этого пространства определяется как [math]d_F(f_1,\;f_2)=\sup\{d_Y(f_1(x),\;f_2(x))\colon x\in X\}.[/math]