Изменения
→Критерий монотонности функции
[https://docs.google.com/file/d/0BxonEwMjsbpWbEx2QzFNUW9TVS1pdTVCSm8wWXU1Zw/edit Виноградов]
== Основные вопросы ==
<tex>g'(t) \ne 0</tex> для любого <tex>t \in (a, b)</tex>,
<tex>\underset {x \to a+}{\lim} f(x) = \underset{x \to a+}{\lim} g(x) = 0</tex>
и существует предел <tex>\underset{x \to a+}{\lim} {{f'(x)} \over {g'(x)}} = A \in \overline{\mathbb{R}}</tex>.
Тогда предел <tex>\underset{x \to a+}{\lim} {{f(x)} \over {g(x)}}</tex> также существует и равен ''A''.
|proof=1. Пусть <tex>a \in \mathbb{R}</tex>. Доопределим функции в точке ''a'' нулём: <tex>f(a) = g(a) = 0</tex>. Тогда доопределенные функции ''f'' и ''g'' будут непрерывны на ''[a, b)''. Возьмем последовательность <tex>\{ x_n \} : x_n \in (a, b), x_n \to a</tex>, и докажем, что <tex>{{f(x_n)} \over {g(x_n)}} \to A</tex>. Функции ''f'' и ''g'' удовлетворяют условиям теоремы Коши на каждом отрезке <tex>[a, x_n]</tex>. Поэтому для любого <tex>n \in \mathbb{N}</tex> найдется такая точка <tex>c_n \in (a, x_n)</tex>, что
<tex> {{f(x_n)} \over {g(x_n)}} = {{f(x_n) - f(a)} \over {g(x_n) - g(a)}} = {{f'(c_n)} \over {g'(c_n)}}</tex>.
По [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема о сжатой последовательности|теореме о сжатой последовательности]] <tex>c_n \to a</tex>. По [[Участник:Katyatitkova/Матан#Односторонние пределы|определению правостороннего предела]] на языке последовательностей <tex>{f'(c_n) \over g'(c_n)} \to A</tex>, а тогда в силу произвольности <tex> \{x_n\}</tex> и <tex>{f(x) \over g(x)} \underset{x \to a+}{\to} A</tex>.
|proof=1. Необходимость. Пусть ''f'' возрастает. Возьмем <tex>x \in (a, b)</tex>. Тогда <tex>f(y) \ge f(x) \ \forall x \in (a, b \rangle</tex> , поэтому
<tex>f'(x) = f'_+(x) = \underset{y \to x+}{\lim}{f(y) - f(x) \over y - x} \ge 0</tex>.
2. Достаточность. Пусть <tex>f'(x) \ge 0 \ \forall x \in \langle a, b\rangle</tex> . Возьмем <tex>x_1, x_2 \in \langle a, b\rangle : x_1 < x_2</tex>, и докажем, что <tex>f(x_1) \le f(x_2)</tex>. По теореме Лагранжа <tex>\exists c \in (x_1, x_2)</tex>:
