Симметричное отношение

Бинарное отношение [math]R[/math] на множестве [math]X[/math] называется симметричным (англ. symmetric binary relation), если для каждой пары элементов множества [math](a, b)[/math] выполнение отношения [math]a\,R\,b[/math] влечёт выполнение отношения [math]b\,R\,a[/math].

Определение:

Отношение [math]R[/math] симметрично, если [math]\forall a, b \in X:\ a\,R\,b \Rightarrow b\,R\,a[/math].

Отношение достижимости вершин неориентированного графа симметрично. Матрица симметричного отношения является симметричной относительно главной диагонали, т.е., формально, симметричной называют такую матрицу [math]A[/math], что [math] \forall i,j: i \neq j \Rightarrow a_{ij}=a_{ji}[/math].

Примером антисимметричного отношения является отношение связи вершин направленного ациклического графа.

Любое отношение эквивалентности, по определению, является симметричным (а также рефлексивным и транзитивным). Также любое отношение толерантности является симметричным (а также рефлексивным, но при этом не транзитивным).

Не являются симметричными (за исключением случая тождественной ложности отношения) отношения порядка (как полного, так и частичного).

Примеры симметричных отношений

• Отношения эквивалентности:
  • отношение равенства [math]=\;[/math]
  • отношение сравнимости по модулю
  • отношение равномощности множеств
  • отношение параллельности прямых и плоскостей
  • отношение подобия геометрических фигур
• Отношения толерантности:
  • отношение "знакомства"
  • отношение "наличие общего свойства"

Источники информации

• Wikipedia | Симметричное отношение
• Wikipedia | Отношение эквивалентности
• Wikipedia | Отношение толерантности

• Wikipedia | Symmetric relation