Эквивалентность состояний ДКА

Основные определения

Определение:

Два автомата [math] \mathcal{A}_1 = \langle Q_1,\Sigma,\delta_1,s_{1}, T_1\subseteq Q_1 \rangle [/math] и [math]\mathcal{A}_2 = \langle Q_2,\Sigma,\delta_2,s_{2}, T_2\subseteq Q_2 \rangle [/math] называются эквивалентными (англ. equivalent), если они распознают один и тот же язык над алфавитом [math]\Sigma[/math], то есть [math]\mathcal{L}(\mathcal{A}_1) = \mathcal{L}(\mathcal{A}_2)[/math].

Определение:

Слово [math]z \in \Sigma^*[/math] различает (англ. distinguish) два состояния [math]q_i[/math] и [math]q_j[/math], если [math] \langle q_i, z \rangle \vdash^* \langle t_1, \varepsilon \rangle, \langle q_j, z \rangle \vdash^* \langle t_2, \varepsilon \rangle \Rightarrow (t_1 \notin T \Leftrightarrow t_2 \in T) [/math].

Определение:

Два состояния [math]q_i[/math] и [math]q_j[/math] называются эквивалентными [math](q_i \sim q_j)[/math], если не существует строки, которая их различает, то есть [math]\forall z \in \Sigma^*[/math] верно, что [math] \langle q_i, z \rangle \vdash^* \langle t_1, \varepsilon \rangle, \langle q_j, z \rangle \vdash^* \langle t_2, \varepsilon \rangle \Rightarrow (t_1 \in T \Leftrightarrow t_2 \in T) [/math].

Заметим, что эквивалентность состояний действительно является отношением эквивалентности. Так как [math] \Leftrightarrow [/math] (равносильность) является отношением эквивалентности и в детерминированном автомате всегда существует путь по любому слову, описанное нами отношение является отношением эквивалентности.

Лемма:

[math] \mathcal{A} = \langle Q, \Sigma, \delta, s, T \rangle [/math], [math] p_1, p_2, q_1, q_2 \in Q [/math], [math] q_i = \delta(p_i, c) [/math], [math] w \in \Sigma^*[/math] различает [math] q_1 [/math] и [math] q_2 [/math]. Тогда [math]cw[/math] различает [math] p_1 [/math] и [math] p_2 [/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math] \langle p_i, cw \rangle \vdash \langle q_i, w \rangle \vdash^* \langle t_i, \varepsilon \rangle [/math] А значит, по условию различимости для [math] q_1 [/math] и [math] q_2[/math] , [math] t_1 \in T \Leftrightarrow t_2 \notin T [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Пример

Эти два автомата принимают слова из языка слов длины не меньше одного, состоящих из символов алфавита [math] \lbrace 0, 1\rbrace [/math]. Стартовые и все допускающие состояния автоматов эквивалентны между собой.

Проверка ДКА на эквивалентность

Заданы два автомата: [math] \mathcal{A}_1 [/math] со стартовым состоянием [math] s_1 [/math] и [math] \mathcal{A}_2 [/math] со стартовым состоянием [math] s_2 [/math] соответственно. Нужно проверить их на эквивалентность.

Проверка через минимизацию

Для этого построим автомат [math] \mathcal{A} [/math], содержащий все состояния обоих автоматов и изначальные переходы между ними. Стартовым состоянием в новом автомате можно сделать [math] s_1 [/math] или [math] s_2 [/math] — это не имеет значения. При этом состояния одного из автоматов станут недостижимыми из новый стартовой вершины в новом автомате, но для алгоритма это и не важно.

Осталось лишь проверить на эквивалентность состояния [math] s_1 [/math] и [math] s_2 [/math] в полученном автомате. Их эквивалентность совпадает с эквивалентностью автоматов [math] \mathcal{A}_1 [/math] и [math] \mathcal{A}_2 [/math]. Для этого можно применить алгоритм минимизации ДКА, который разбивает все состояния на классы эквивалентности. Если состояния [math]s_1[/math] и [math]s_2[/math] нового автомата в одном классе эквивалентности — исходные автоматы эквивалентны.

Также можно минимизировать каждый автомат отдельно и проверить минимизированные версии на изоморфизм.

Замечание: для реализации оба автомата обязательно должны иметь дьявольские состояния.

Проверка через BFS

Алгоритм заключается в синхронном обходе автоматов в ширину, проверяя, что по пути сохраняются терминальные состояния. Поскольку эквивалентные автоматы допускают один тот же язык, при переходе по одним и тем же символам в обоих автоматах, слово должно приниматься обоими автоматами одновременно. То есть вершины, в которые мы перешли, должны быть либо одновременно терминальными, либо одновременно нетерминальными, что и проверяет приведённый алгоритм.

<wikitex> Псевдокод:

// [math]Q[/math] — очередь из пар состояний
boolean function $\mathtt{bfsEquivalenceCheck}$($aut1$, $aut2$)
    $Q.push( \langle s_1, s_2 \rangle ) $
    $\mathtt{used1[s_1]}  \leftarrow $ true
    $\mathtt{used2[s_2]}  \leftarrow $ true
    while $Q \ne \varnothing $  
        $u \leftarrow Q.front.first$
        $v \leftarrow Q.front.second$
        $\mathtt{Q.pop()}$
        if( $\mathtt{isTerminal1[u]} \ne \mathtt{isTerminal2[v]}$ )
            return false
        for $i \in \Sigma$
            if( not $\mathtt{used1[aut1[u][i]]}$ ||  not $\mathtt{used2[aut2[v][i]]} $)
                $Q.push( \langle \mathtt{aut1[u][i]}, \mathtt{aut2[v][i]} \rangle )$
                $\mathtt{used1[aut1[u][i]]} \leftarrow $ true
                $\mathtt{used2[aut2[v][i]]} \leftarrow $ true
    return true;

</wikitex>

Замечание: в данной реализации оба автомата обязательно должны иметь дьявольские состояния.

<wikitex> Доказательство корректности: Пусть по строке $w$ мы пришли в состояния $ \langle u, v \rangle $, и пусть они нетерминальные. Пусть мы перешли по символу $c$ в состояние $ \langle u', v' \rangle $ ($u$ может быть равно $u'$ или $v'$ может быть равно $u'$, но не оба сразу). Тогда если $\mathtt{isTerminal1[u]} \ne \mathtt{isTerminal2[v]}$, то строка $wc$ различает эти два состояния. А значит автоматы не эквивалентны. </wikitex>

См. также

• Алгоритм минимизации ДКА
• Минимизация ДКА, алгоритм Хопкрофта (сложность O(n log n))

Источники информации

• equivalence between two automata