Изменения
Нет описания правки
</wikitex>
==Задача разбиения выпуклого $n$-угольника на треугольники не пересекающимися диагоналями==
<wikitex>
Ответ на задачу при $n$ = 3 тривиален: никаких
42+14+2·5+5·2+14+42 = 132
способа.Такие вычисления можно проводить и дальше.
</wikitex>
==Задача расстановки скобок==
<wikitex>
Рассмотрим какое-нибудь арифметическое выражение и сотрём всё, кроме скобок.
Получим некоторую систему открывающих и закрывающих скобок. Какими свойствами она обладает? Во-первых, открывающих скобок ровно столько же, сколько и
закрывающих. Во-вторых, ни в каком начальном отрезке количество закрывающих
скобок не может оказаться больше количества открывающих скобок. (Например,
расстановки )( и ((())))( — неправильные.) Эти два условия не только необходимы, но и достаточны.
Рассмотрим несколько примеров. Одна пара скобок может выглядеть единственным способом: (). Две пары — двумя способами: ()() или (()). Три пары —
пятью способами: ()()(), ()(()), (())(), (()()) или ((())). Четыре пары, как нетрудно проверить,— четырнадцатью способам и. Чтобы понять, сколькими способами могут выглядеть правильно расставленные пять пар скобок, рассмотрим закрывающую скобку, парную к первой открывающей скобке. Остальные четыре пары
тогда разделятся на две группы: расположенные внутри рассмотренной пары и
расположенные справа от неё. (Разумеется, любая из этих групп может состоять из
0 скобок.) Способов, когда все четыре пары внутри или все четыре справа, имеется
по 14 штук. Когда три пары внутри, а одна справа, имеем 5 способов. Столько
же — когда одна внутри, а три справа. Наконец, когда две пары внутри, а две
справа, имеем 2 · 2 = 4 способа. Итого
14+5+2·2+5+14 = 42
способа. Следуя такому походу, можно вычислять количество правильных скобочных последовательностей дальше.
</wikitex>
==Рекуррентная формула чисел Каталана==
<wikitex>
<tex dpi = "170"> C_n = \frac{(2n-2)!}{n!(n-1)!} </tex>
===Доказательство формулы===
При доказательстве будем использовать производящие функции. Идея состоит в том, чтобы "запаковать"всю бесконечную последовательность в одно выражение. Производящая функция для последовательности Каталана 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, ... - это функция:
<tex dpi = "140"> f (x) = 1 + {x} + {x}^2 + 2{x}^3 + 5{x}^4 + 14{x}^5 + 42{x}^6 + 132{x}^7 + 429{x}^8 + 1430{x}^9 + ...</tex>
При этом нас даже не интересует, для каких $x$ этот степенной ряд сходится, так как мы рассматриваем только формальный степенной ряд . Возведем его в квадрат и получим:
<tex dpi = "140"> f (x)*f (x) = </tex>
</wikitex>
