Straight skeleton

Эта статья находится в разработке!

Существует целый класс структур типа [math]\mathrm{skeleton}[/math], которые описывают базовые топологические свойства объектов. Структура [math]\mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton}[/math] была придумала Oswin Aichholzer. Она используются в различных практических задачах, для доказательства некоторых теорем, а также имеет связь с диаграммой Вороного.

Топологические свойства

Определение:

Straight skeleton (Angular Bisector Network, ABN) полигона без самопересечений определяет разбиение полигона на регионы, границами которых являются стороны полигона, биссектрисы углов и отрезки, соединяющие точки пересечения биссектрис.

Опишем подробней, как получается такое разбиение. Мы можем представить, будто все стороны прямоугольника параллельно двигаются внутрь с одинаковой постоянной скоростью, то есть многоугольник как бы сжимается внутрь. Тогда вершины будут двигаться вдоль биссектрис , а точки пересечения биссектрис будут соединять совпавшие участки сторон прямоугольника в конце движения. В каждый момент времени от начала движения рёбер мы получаем слоистую структуру (рис 1.). На рис. 2 синим цветом выделен [math] \mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton} [/math] — множество отрезков, образованных точками пересечения при движении сторон полигона. Чем-то структура похожа на строение крыши в домах (рис. 3). И для решения этой задачи как раз [math] \mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton} [/math] и может применяться: по стенам здания необходимо спроектировать его крышу (рис. 5).

Рис. 5 — Проектирование крыши здания по готовым стенам

Процесса стягивания многоугольника продолжается до тех пор, пока происходят его топологические изменения, то есть меняется число вершин в стянутом многоугольнике, и таким образом появляются новые вершины дерева [math] \mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton} [/math]. Существуют два типа изменений, в ходе которых образуются новый вершины дерева:

• [math] Edge\ event [/math] — данное изменение происходит, когда сторона многоугольника полностью стягивается, делая соседние стороны инцидентными.
• [math] Split\ event [/math] происходит, когда ребро разбивается на два новых ребра, исходящих из точки преломления старого. Такое событие происходит на биссектрисе вогнутой вершины многоугольника. И тогда стягиваемая многоугольником область разбивается на две непересекающиеся многоугольные области.

[math] edge\ event [/math]

[math] split\ event [/math]

На рисунке [math] edge\ event' [/math]ы изображён красным кругом, а [math] split\ event' [/math]ы — чёрным прямоугольником.

Таким образом, [math] event' [/math]ы соответствуют вершинам [math] \mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton} [/math], гранями являются области многоугольника, заметаемые сторонами многоугольника в процессе стягивания.

Свойства дерева Straight skeleton

TODO: Леммы о свойствах структуры Straight skeleton

Wavefront-алгоритм

Рассмотрим оригинальный алгоритм, который был предложен авторами этой структуры.

TODO: "Простой" алгоритм построения за n^3 (wavefront)

Другие алгоритмы

Известен алгоритм построения [math] \mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton} [/math] для монотонных полигонов за время [math] \mathcal{O}(n \log n)[/math] с использованием [math] \mathcal{O}(n)[/math] памяти. Существует и более сложный алгоритм, который строит [math] \mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton} [/math] за время [math] \mathcal{O}(nm + n \log n)[/math], где [math] n [/math] — общее число вершин в полигоне, [math] m [/math] — число вогнутых вершин в полигоне.

Источники информации

• Wikipedia — Straight skeleton
• Computing Straight Skeletons and Motorcycle Graphs: Theory and Practice
• Designing roofs and drawing phylogenetic trees