Straight skeleton — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Свойства Straight skeleton: странные леммы)
(Источники информации)
Строка 62: Строка 62:
 
* [http://www.sthu.org/research/publications/files/phdthesis.pdf Computing Straight Skeletons and Motorcycle Graphs: Theory and Practice]
 
* [http://www.sthu.org/research/publications/files/phdthesis.pdf Computing Straight Skeletons and Motorcycle Graphs: Theory and Practice]
 
* [https://liorpachter.wordpress.com/tag/straight-skeleton/ Designing roofs and drawing phylogenetic trees]
 
* [https://liorpachter.wordpress.com/tag/straight-skeleton/ Designing roofs and drawing phylogenetic trees]
 +
* [http://resources.mpi-inf.mpg.de/departments/d1/teaching/ss10/Seminar_CGGC/Slides/09_Dinu_SSke.pdf Eric Berberich, "Straight Skeleton, Computational Geometry and Geometric Computing Seminar"]
  
 
[[Категория: Вычислительная геометрия]]
 
[[Категория: Вычислительная геометрия]]
 
[[Категория: Скалярное произведение и мера]]
 
[[Категория: Скалярное произведение и мера]]
 
[[Категория: Структуры данных]]
 
[[Категория: Структуры данных]]

Версия 01:17, 21 октября 2014

Эта статья находится в разработке!

Существует целый класс структур типа [math]\mathrm{skeleton}[/math], которые описывают базовые топологические свойства объектов. Структура [math]\mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton}[/math] была придумала Oswin Aichholzer[1]. Она используются в различных практических задачах (проектирование крыш для зданий), для доказательства некоторых теорем[2], а также имеет связь с диаграммой Вороного.

Топологические свойства

Определение:
Straight skeleton (Angular Bisector Network, ABN) полигона без самопересечений определяет разбиение полигона на регионы, границами которых являются стороны полигона, биссектрисы углов и отрезки, соединяющие точки пересечения биссектрис.
Straight skeleton definition.png

Опишем подробней, как получается такое разбиение. Мы можем представить, будто все стороны прямоугольника параллельно двигаются внутрь с одинаковой постоянной скоростью, то есть многоугольник как бы сжимается внутрь. Тогда вершины будут двигаться вдоль биссектрис , а точки пересечения биссектрис будут соединять совпавшие участки сторон прямоугольника в конце движения. В каждый момент времени от начала движения рёбер мы получаем слоистую структуру (рис 1.). На рис. 2 синим цветом выделен [math] \mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton} [/math] — множество отрезков, образованных точками пересечения при движении сторон полигона. Чем-то структура похожа на строение крыши в домах (рис. 3). И для решения этой задачи как раз [math] \mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton} [/math] и может применяться: по стенам здания необходимо спроектировать его крышу.

Проектирование крыши здания по готовым стенам

Процесса стягивания многоугольника продолжается до тех пор, пока происходят его топологические изменения, то есть меняется число вершин в стянутом многоугольнике, и таким образом появляются новые вершины дерева [math] \mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton} [/math]. Существуют два типа изменений, в ходе которых образуются новый вершины дерева:

  • [math] Edge\ event [/math] — данное изменение происходит, когда сторона многоугольника полностью стягивается, делая соседние стороны инцидентными.
  • [math] Split\ event [/math] происходит, когда ребро разбивается на два новых ребра, исходящих из точки преломления старого. Такое событие происходит на биссектрисе вогнутой вершины многоугольника. И тогда стягиваемая многоугольником область разбивается на две непересекающиеся многоугольные области.
[math] edge\ event [/math]
[math] split\ event [/math]

На рисунке [math] edge\ event' [/math]ы изображён красным кругом, а [math] split\ event' [/math]ы — чёрным прямоугольником.

Sk example1.jpg

Таким образом, [math] event' [/math]ы соответствуют вершинам [math] \mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton} [/math], гранями являются области многоугольника, заметаемые сторонами многоугольника в процессе стягивания.

Свойства Straight skeleton

Из процесса построения [math] \mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton} [/math] следует, что он является планарным графом. Ранее уже упоминалась, что он также является деревом. Будем обозначать [math] \mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton} [/math] полигона [math] P [/math], в котором [math] n [/math] вершин (будем пока для простоты считать, что полигон не содержит внутри других полигонов), как [math] S(P) [/math]. Тогда справедлива следующая лемма:

Лемма (1):
[math] S(P) [/math] является деревом, содержит [math] n [/math] связных граней, [math] n - 2 [/math] внутренние вершины и [math] 2 n - 3 [/math] рёбер.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Каждая грань [math] f(e) [/math] начинается образовываться во время стягивания ребра [math] e [/math], и даже если на ребре произошёл [math] split\ event [/math], сама грань не могла разделиться. Построение грани [math] f(e) [/math] завершается, когда ребро [math] e [/math] полностью стягивается. А новые рёбра появляться не могут, поэтому [math] S(P) [/math] является деревом, а каждая грань будет связная. Поэтому граней в [math] S(P) [/math] столько, сколько сторон в многоугольнике, внутренних вершин будет [math] n - 2 [/math], а рёбер [math] 2n - 3 [/math], что следует из того, что [math] S(P) [/math] является деревом.
[math]\triangleleft[/math]
Лемма (2):
[math] Split\ event'[/math]ы могут исходить только из вогнутных вершин полигона.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
TODO: Доказательство
[math]\triangleleft[/math]

Wavefront-алгоритм

Рассмотрим оригинальный алгоритм, который был предложен авторами этой структуры.

TODO: "Простой" алгоритм построения за n^3 (wavefront)

Другие алгоритмы

Известен алгоритм[3] построения [math] \mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton} [/math] для монотонных полигонов за время [math] \mathcal{O}(n \log n)[/math] с использованием [math] \mathcal{O}(n)[/math] памяти. Существует и более сложный алгоритм[4], который строит [math] \mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton} [/math] за время [math] \mathcal{O}(nm + n \log n)[/math], где [math] n [/math] — общее число вершин в полигоне, [math] m [/math] — число вогнутых вершин в полигоне.

Примечания

Источники информации