Основные определения: алфавит, слово, язык, конкатенация, свободный моноид слов; операции над языками

Определение:

Алфавит - конечное непустое множество символов. Условимся обозначать алфавиты символом [math]\Sigma[/math].

Определение:

Слово, или цепочка - это конечная последовательность символов некоторого алфавита. Например, 01101 - это цепочка в бинарном алфавите [math]\Sigma = {0,1}[/math]. Цепочка 111 это тоже цепочка в этом алфавите.

Пустая цепочка - это цепочка, не содержащая ни одного символа. Эту цепочку обозначаемую [math] \varepsilon [/math], можно рассматривать как цепочку в любом алфавите. Длина цепочки - число символов в цепочке.

Определение:

Степени алфавита Если [math]\Sigma[/math] - некоторый алфавит, то можно выразить множество всех цепочек определенной длины, состоящих из символов данного алфавита, используя знак степени. Определим [math]\Sigma^k[/math], как множество всех цепочек длины [math]k[/math], состоящих из символов алфавита [math]\Sigma[/math]. Определим [math]\Sigma^*[/math], как [math]\Sigma^*=\left\{\Sigma^0, \Sigma^1, \Sigma^2, ...\right\}[/math]

Определение:

Конкатенация слов Пусть [math]x[/math] и [math]y[/math] - цепочки. Тогда [math]xy[/math] обозначает их конкатенацию (соединение), т.е. цепочку, в которой последовательно записаны цепочки x и y.

Свойства

• Ассоциотивность [math](\alpha\beta)\gamma=\alpha(\beta\gamma)[/math]
• [math]\exists \varepsilon [/math] (нейтральный элемент), такой, что [math]\alpha\varepsilon=\varepsilon\alpha=\alpha[/math]

Таким образом мы получаем свободный моноид слов.

Слово [math]\alpha[/math] является префиксом [math]\beta[/math], если [math]\beta = \alpha\gamma[/math] для некоторого [math]\gamma[/math].

Слово [math]\alpha[/math] является суффиксом [math]\beta[/math], если [math]\beta = \gamma\alpha[/math] для некоторого [math]\gamma[/math].

Слово [math]\alpha[/math] является подстрокой [math]\beta[/math], если [math]\beta = \gamma\alpha\delta[/math] для некоторого [math]\gamma[/math], [math]\delta[/math].

([math]\gamma[/math], [math]\delta[/math] могут быть пустыми)

Определение:

Язык - множество строчек, каждая из которых принадлежит [math]\Sigma^*[/math], где [math]\Sigma[/math] - некоторый фиксированный алфавит.

Если [math]\Sigma[/math] - алфавит, и [math]L \subseteq \Sigma^*[/math], то [math]L[/math] - это язык над [math]\Sigma[/math], или в [math]\Sigma[/math]. Отметим, что язык в [math]\Sigma[/math] не обязательно должен содержать цепочки, в которые входят все символы [math]\Sigma[/math]. Поэтому, если известно, что [math]L[/math] является языком в [math]\Sigma[/math], то можно утверждать, что [math]L[/math] - это язык над любым алфавитом, содержащим [math]\Sigma[/math].