Изменения
Нет описания правки
# Предложите алгоритм поиска остовного дерева с минимальным весом максимального ребра за время равное работе алгоритма поиска MST.
# Пусть $w(uv)$ - вес ребра, $c(uv)$ - стоимость ребра. Разработать алгоритм построения остовного дерева минимальной средней стоимости. (Отношение суммы стоимостей рёбер дерева к сумме весов рёбер дерева должно быть минимальным)
# Сформулируйте и докажите аналогичную лемме о сумме лемму о разности потоков.
# Вспомните граф, показанный на лекции, где пропускные способности трех средних ребер 1, $\varphi$ и $\varphi^2$. Предложите последовательность дополняющих путей в этом графе, при выборе которых максимальный поток никогда не будет найден.
# Будем жадно выбирать для дополнения путь с максимальной остаточной пропускной способностью. Докажите, что при этом в сети с целочисленными пропускными способностями время работы алгоритма будет $O(poly(V, E) \log(C_{max}))$, где $C_{max}$ - максимальная пропускная способность ребра, а $poly$ - некоторый полином.
# Постройте граф, в котором алгоритм Эдмондса-Карпа совершить $\Omega(VE)$ дополнений (сеть "грибок")
# Докажите, что для любых $V$ и $E$ ($E = O(V^2)$, $E = \Omega(V)$) существует граф с $V$ вершинами и $E$ ребрами, в котором любая декомпозиция любого максимального потока содержит $\Omega(E)$ слагаемых, каждое из которых есть путь/цикл длины $\Omega(V)$.
# Поток назовём циркуляцией, если его величина равна 0. Пусть в графе $G$ заданы две функции на ребрах: $L: E\to \mathbb{R}$ и $U: E\to \mathbb{R}$. Будем называть циркуляцию допустимой, если $L(uv) \le f(uv) \le R(uv)$. Требуется свести задачу поиска допустимой циркуляции в сети к задаче о максимальном потоке.
# Сведите задачу о максимальном потоке с несколькими истоками и несколькими стоками к обычной задаче о максимальном потоке.
# Можно ввести понятие пропускной способности вершины $c(u)$ как максимальной разрешенной суммы $\sum_{uv, f(uv) > 0}f(uv)$. Решите задачу о максимальном потоке для графа с пропускными способностями вершин.
# Пусть $f_{max}$ - максимальный поток в сети, а $f_{blocking}$ - блокирующий поток. Доказать, что $|f_{blocking}| / |f_{max}|$ может быть сколь угодно мало.
</wikitex>
