Теорема Понтрягина-Куратовского

Hазбор случаев взаимного положения [math]a, b, c, d, u1, u2, v1, v2[/math]

Рассмотрим 2 случая.

---

1. Пусть пара вершин [math]\ v_1 [/math] и [math]\ v_2 [/math] является [math](a, b)[/math]-разделяющей.
Тогда, в частности, [math]v_2 \ne a[/math] и [math] v_1 \ne b[/math]. В этом случае граф G содержит подграф, гомеоморфный [math]\ K_{3,3} [/math] (отметим, что в [math] In [/math] существует простая [math](v_1, v_2)[/math]-цепь)(рис.1).

---

2. Пусть пара вершин [math]v1[/math] и [math]v2[/math] не является [math](a, b)[/math]-разделяющей.
Тогда [math]v1, v2[/math] лежат на [math]C[a, b][/math] или на [math]C[b, a][/math]. Без ограничения общности будет считать, что [math]v1[/math] и [math]v2[/math] лежат на [math]C[a, b][/math].

2.1. Пусть [math]v1[/math] и [math]v2[/math] лежать на [math]C(a, b)[/math]