Формула Эйлера

Теорема (Формула Эйлера):

Для произвольного плоского связного графа [math]G[/math] с [math]V[/math] вершинами, [math]E[/math] ребрами и [math]F[/math] гранями справедливо следующее соотношение: [math]V - E + F = 2[/math]

Теорема (Следствие):

Пусть [math]G[/math] произвольный граф с [math]V[/math] вершинами ([math]V \ge 3[/math]), [math]E[/math] ребрами и [math]F[/math] гранями. Тогда [math]E \le 3V - 6[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Поскольку [math]G[/math] не содержит петель и кратных ребер, то каждая грань граничит хотя бы с тремя ребрами. Пусть, двигаясь вдоль [math]i[/math]-й грани мы пройдем [math]l_i[/math] ребер. Очевидно, что [math]\sum_{i=1}^{F}l_i = 2E[/math]. Поскольку [math]l_i \ge 3 (i = 1..F)[/math], получаем [math]3F \le 2E[/math]. Из формулы Эйлера [math]3E - 3V + 6 = 3F \le 2E[/math], то есть [math]E \le 3V - 6[/math].

[math]\triangleleft[/math]