Непланарность K5 и K3,3 — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «{{Теорема |about= Непланарность <tex>K_5</tex> |statement= Граф <tex>K_5</tex> непланарен. |proof= Граф <tex>K_5</tex> имее…»)
(нет различий)

Версия 05:49, 19 октября 2010

Теорема (Непланарность [math]K_5[/math]):
Граф [math]K_5[/math] непланарен.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Граф [math]K_5[/math] имеет 5 вершин и 10 ребер. Если он планарен, то по следствию из формулы Эйлера получаем [math]10 \le 3 \cdot 5 - 6 = 9[/math]. Что невозможно.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема (Непланарность [math]K_{3,3}[/math]):
Граф [math]K_{3,3}[/math] непланарен.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Граф [math]K_{3,3}[/math] содержит [math]V = 6[/math], [math]E = 9[/math] и [math]F[/math] граней.

Пусть граф [math]K_{3,3}[/math] планарен. Тогда по формуле Эйлера [math]F = E - V + 2 = 9 - 6 + 2 = 5[/math]. Пусть, двигаясь вдоль [math]i[/math]-й грани мы пройдем [math]l_i[/math] ребер. Очевидно, что [math]\sum_{i=1}^{F}l_i = 2E[/math]. Поскольку граф двудольный, все его циклы имеют четную длину. Значит [math]l_i \ge 4[/math]. Получаем [math]4F \le 2E[/math], то есть [math]2F \le E[/math]. То есть [math]2\cdot5 = 10 \le 9[/math], что невозможно.
[math]\triangleleft[/math]