Код Хаффмана с длиной кодового слова не более L бит

Код Хаффмана с длиной слова не более L бит - это вариация классического кода Хоффмана с дополнительным ограничением: длина каждого кодового слова не должна превышать заданной константы. Здесь будет приведен алгоритм, решающий эту задачу за время [math] O(nL) [/math], где [math]L[/math] - максимальная длина кодового слова, [math]n[/math] - размер алфавита, c помощью сведения задачи к одной из вариаций задачи о банкомате. Данный алгоритм бывает полезен, когда нам нужно ограничить максимальную длину кодового слова, а при использовании алгоритма Хаффмана самому редко встречающемуся символу соответствует слишком длинное кодовое слово. Например, пусть дан алфавит из 5 символов [math]A=\{A,B,C, C, D\}[/math], а частоты символов являются степенями двойки: [math]P=\{1,2,4, 8, 16\}[/math]. Тогда классический код Хоффмана будет выглядеть следующим образом:

[math] A = 1111 [/math]

[math] B = 1110 [/math]

[math] C = 110 [/math]

[math] D = 10 [/math]

[math] E = 0 [/math]

Заметим, что самое длинное кодовое слово имеет длину 4. Пусть мы хотим, чтобы слова в нашем коде были не длиннее трех бит. Тогда алгоритм, который будет описан ниже, генерирует такой код:

[math] A = 000 [/math]

[math] B = 001 [/math]

[math] C = 010 [/math]

[math] D = 011 [/math]

[math] E = 100 [/math]

При этом очевидно, что если [math] n \gt 2^L [/math], то перефиксного кода с длиной слова не более [math] L [/math] бит не существует.

Задача о банкомате.

В вариации задаче о банкомате, которую мы рассмотрим, у вас имеется [math]N[/math] монет. Каждая монета характеризуется двумя параметрами: номиналом и весом. При этом все номиналы являются степенями двойки и не превышают [math]2^0[/math]. Необходимо выбрать из имеющихся монет некоторый набор так, чтобы их суммарный номинал был равен [math]S[/math] (натуральное число), а суммарный вес минимален.

Алгоритм решения задачи о банкомате.

Рассмотрим алгоритм решения приведенной выше вариации задачи о банкомате, считая, что решение существует.

1. Разделим имеющиеся у нас монеты на списки по номиналу (свой список для каждого номинала) и упорядочим монеты по возрастанию весов внутри списков, а списки в порядке возрастания номиналов.
2. Рассмотрим первый список (с монетами самого низкого номинала). Разобьем в нем все монеты на пары (1 и 2, 3 и 4 и т. д.) Заменим каждую пару монет одной новой монетой, номинал и вес которой равен сумме номиналов и весов старых. Если число монет было нечетно, то последнюю монету, которая не имеет пары, исключим из рассмотрения.
3. Объединим первый список со вторым так, чтобы монеты в получившемся списке остались упорядочены по весу.
4. Будем повторять шаги 2-3 до тех пор, пока у нас не останется один список, в котором содержатся монеты номинала 1 ([math]2^0[/math]), упорядоченные по весу. Возьмем первые [math]S[/math] монет из списка. Это и будет ответ к задаче.

Сведение к генерации кода Хоффмана с длиной кодового слова не более L бит.

Пусть [math]L[/math] - ограничение на длину кодового слова, а [math]P=\{p_{1},p_{2},...,p_{n}\}[/math] - частоты символов алфавита.

1. Отсортируем символы алфавита в порядке возрастания их частот.
2. Для каждого символа создадим [math]L[/math] монет номиналами [math]2^{-1}..2^{-L}, каждая из которых имеет вес \lt tex\gt p_{i}[/math].
3. С помощью описанного выше алгоритма выберем набор монет суммарным номиналом [math]n - 1[/math] ([math]n[/math] - размер алфавита) с минимальным суммарным весом.
4. Посчитаем массив [math]H=\{h_{1},h_{2},...,h_{n}\}[/math], где [math]h_{i}[/math] - количество монет номинала [math]p_{i}[/math], которые попали в наш набор.

При этом [math]h_{i}[/math] - это длина кодового слова для [math]i[/math]-го символа.Зная длины кодовых слов, легко восстановить и сам код.

Восстановление ответа.

1. Отсортируем все символы по возрастанию длины кодового слова, которое им соответствует, а при равенстве длин - в алфавитном порядке.
2. Первому символу сопоставим код, состоящий из нулей, соответствующей длины.
3. Каждому следующему символу сопоставим следующее двоичное число. При этом если его длина меньше необходимой, то допишем нули справа.

Заметим, что при генерации каждого следующего кодового слова, в качестве его префикса выступает последовательность, лексикографически большая, чем предыдущее кодовое слово (т.к. мы берем следующее двоичное число), а значит ни для каких двух кодовых слов одно не может быть префиксом другого. Т.е. код, сгенерированный таким образом является префиксным.

Пример работы алгоритма генерации кода Хоффмана с длиной кодового слова не более L бит

Пусть [math]A=\{a_{1},a_{2},...,a_{n}\}[/math] — алфавит из n различных символов, [math]P=\{p_{1},p_{2},...,p_{n}\}[/math] — соответствующий ему набор частот. Пусть [math]L = 2[/math] - ограничение на длину кодового слова.

Сначала создадим необходимый набор монет;

[math](2^{-1}; 1), (2^{-2}; 1), (2^{-1}; 2), (2^{-2}; 2), (2^{-1}; 3), (2^{-2}; 3)  [/math]

Распределим их по спискам:

Номинал = [math] 2^{-2} [/math]	[math](2^{-2}; 1)[/math]	[math](2^{-2}; 2)[/math]	[math](2^{-2}; 3)[/math]
Номинал = [math] 2^{-1} [/math]	[math](2^{-1}; 1)[/math]	[math](2^{-1}; 2)[/math]	[math](2^{-2}; 3)[/math]

Выполним объединение первого списка по парам и исключим последний элемент, т.к. для него нет пары:

Номинал = [math] 2^{-2} [/math]	[math](2^{-1}; 3)[/math]
Номинал = [math] 2^{-1} [/math]	[math](2^{-1}; 1)[/math]	[math](2^{-1}; 2)[/math]	[math](2^{-2}; 3)[/math]

Объединим первый список со вторым:

Номинал = [math] 2^{-2} [/math]
Номинал = [math] 2^{-1} [/math]	[math](2^{-1}; 1)[/math]	[math](2^{-1}; 2)[/math]	[math](2^{-1}; 3)[/math]	[math](2^{-1}; 3)[/math]

Выполним объединение второго списка по парам:

Номинал = [math] 2^{0} [/math]

[math](2^{0}; 3)[/math]

[math](2^{0}; 6)[/math]

Теперь нам нужно набрать монеты суммарным номиналом [math] n - 1 = 2 [/math] с минимальным суммарным весом, т.е. просто возьмем первые две монеты из итогового списка. Посчитаем массив [math] H [/math]. Обратите внимание, что при подсчете количества монет определенного веса мы учитываем монеты, которые были даны изначально, а не те, которые получились путем слияния исходных.

[math]H=\{2,2,1\}[/math]

Итак, мы получили длины кодовых слов для символов. Осталось восстановить ответ.

Пример восстановления ответа.

Итак, у нас есть [math]A=\{A,B,C\}[/math] — алфавит из n различных символов, а также [math]H=\{2,2,1\}[/math] - соответсвующие длины кодовых слов. Отсортируем символы в соответсвии с этими длинами.

Сопоставим первому символу код, состоящий из 1 нуля:

[math] C = 0 [/math]

Сопоставим следующему символу следующее двоичное число. Т.к. длина кода увеличилась на один, то припишем справа ноль:

[math] B = 10 [/math]

Сопоставим следующему символу следующее двоичное число.

[math] A = 11 [/math]

Источники информации

• Package-merge algorithm
• Canonical Huffman code