Код Хаффмана с длиной кодового слова не более L бит

Код Хаффмана с длиной слова не более L бит — это вариация классического кода Хоффмана с дополнительным ограничением: длина каждого кодового слова не должна превышать заданной константы. Здесь будет приведен алгоритм, решающий эту задачу за время [math] O(nL) [/math], где [math]L[/math] — максимальная длина кодового слова, [math]n[/math] — размер алфавита, c помощью сведения задачи к задаче о рюкзаке.

Данный алгоритм бывает полезен, когда нам нужно ограничить максимальную длину кодового слова, а при использовании алгоритма Хаффмана самому редко встречающемуся символу соответствует слишком длинное кодовое слово. Например, пусть дан алфавит из 5 символов [math]A=\{A,B,C, C, D\}[/math], а частоты символов являются степенями двойки: [math]P=\{1,2,4, 8, 16\}[/math]. Тогда классический код Хоффмана будет выглядеть следующим образом:

[math] A = 1111 [/math]

[math] B = 1110 [/math]

[math] C = 110 [/math]

[math] D = 10 [/math]

[math] E = 0 [/math]

Самое длинное кодовое слово здесь имеет длину 4. Пусть мы хотим, чтобы слова в нашем коде были не длиннее трех бит. Тогда алгоритм, который будет описан ниже, генерирует такой код:

[math] A = 000 [/math]

[math] B = 001 [/math]

[math] C = 010 [/math]

[math] D = 011 [/math]

[math] E = 100 [/math]

Важно заметить следующий факт. В худшем случае все кодовые слова будут иметь длину L бит. Тогда мы можем закодировать [math] 2^L [/math] символов. Таким образом, нельзя получить описанный выше код, если [math] n \gt 2^L [/math].

Сведение к генерации кода Хоффмана с длиной кодового слова не более L бит.

Пусть [math]L[/math] — ограничение на длину кодового слова, а [math]P=\{p_{1},p_{2},...,p_{n}\}[/math] — частоты символов алфавита. Алгоритм генерации кода будет следующим:

1. Отсортируем символы алфавита в порядке возрастания их частот.
2. Для каждого символа создадим [math]L[/math] предметов ценностью [math]2^{-1}..2^{-L}[/math], каждый из которых имеет вес [math]p_{i}[/math].
3. С помощью задачи о рюкзаке выберем набор предметов суммарной ценностью <ex>n - 1</tex> ([math]n[/math] — размер алфавита) с минимальным суммарным весом.
4. Посчитаем массив [math]H=\{h_{1},h_{2},...,h_{n}\}[/math], где [math]h_{i}[/math] — количество предметов ценностью [math]p_{i}[/math], которые попали в наш набор.

При этом [math]h_{i}[/math] — это длина кодового слова для [math]i[/math]-го символа.Зная длины кодовых слов, легко восстановить и сам код.

Восстановление ответа.

1. Отсортируем все символы по возрастанию длины кодового слова, которое им соответствует, а при равенстве длин — в алфавитном порядке.
2. Первому символу сопоставим код, состоящий из нулей, соответствующей длины.
3. Каждому следующему символу сопоставим следующее двоичное число. При этом если его длина меньше необходимой, то допишем нули справа.

Заметим, что при генерации каждого следующего кодового слова, в качестве его префикса выступает последовательность, лексикографически большая, чем предыдущее кодовое слово (т.к. мы берем следующее двоичное число), а значит ни для каких двух кодовых слов одно не может быть префиксом другого. Т.е. код, сгенерированный таким образом является префиксным.

Пример работы алгоритма генерации кода Хоффмана с длиной кодового слова не более L бит

Пусть [math]A=\{a_{1},a_{2},...,a_{n}\}[/math] — алфавит из n различных символов, [math]P=\{p_{1},p_{2},...,p_{n}\}[/math] — соответствующий ему набор частот. Пусть [math]L = 2[/math] — ограничение на длину кодового слова.

Сначала создадим необходимый набор предметов;

[math](2^{-1}; 1), (2^{-2}; 1), (2^{-1}; 2), (2^{-2}; 2), (2^{-1}; 3), (2^{-2}; 3)  [/math]

Решим задачу о рюкзаке для заданного набора и выберем предметы суммарной ценностью [math] n - 1 = 2 [/math] с минимальным суммарным весом. В нашем случае в оптимальный набор попадут следующие предметы:

[math](2^{-1}; 1), (2^{-1}; 2), (2^{-1}; 3), (2^{-2}; 1), (2^{-2}; 2) [/math]

Посчитаем массив [math] H [/math]:

[math]H=\{2,2,1\}[/math]

Итак, мы получили длины кодовых слов для символов. Осталось восстановить ответ.

Пример восстановления ответа.

Итак, у нас есть [math]A=\{A,B,C\}[/math] — алфавит из n различных символов, а также [math]H=\{2,2,1\}[/math] — соответсвующие длины кодовых слов. Отсортируем символы в соответсвии с этими длинами.

Сопоставим первому символу код, состоящий из 1 нуля:

[math] C = 0 [/math]

Сопоставим следующему символу следующее двоичное число. Т.к. длина кода увеличилась на один, то припишем справа ноль:

[math] B = 10 [/math]

Сопоставим следующему символу следующее двоичное число.

[math] A = 11 [/math]

Источники информации

• Package-merge algorithm
• Canonical Huffman code