Генерация комбинаторных объектов в лексикографическом порядке

Комбинаторные объекты сгенерированы в лексикографическом порядке (in lexicographical order), если для любых [math] i\lt j [/math] выполняется неравенство [math] S_i\lt S_j [/math], где [math] S_i [/math] и [math] S_j [/math] комбинаторные объекты с номерами [math] i [/math] и [math] j [/math].

Алгоритм построения

Описание процедуры построения

Данный алгоритм генерирует все объекты заданного типа в лексикографическом порядке. На каждом шаге генерируется минимальный возможный префикс требуемого объекта.

• [math]\mathtt{genObj(K, p)}[/math] — процедура генерирования,
• [math]\mathtt{ p}[/math] — глубина рекурсии,
• [math]\mathtt{list \lt A\gt }[/math] [math]\mathtt{K}[/math] — текущий комбинаторный объект,
• [math]\mathtt{len}[/math] — требуемый размер объекта,
• [math]\mathtt{list \lt A\gt }[/math] [math]\mathtt{alpha}[/math] — все возможные элементы комбинаторного объекта, отсортированные в лексикографическом порядке,
• [math]\mathtt{n}[/math] — размер alpha,
• [math]\mathtt{list \lt list \lt A\gt \gt }[/math] — список, содержащий все сгенерированные объекты в нужном порядке.

list<A> genObj(int K,int p)
  if p == len                             // если сформирован объект нужного размера, то возвращаем его    
    ans.push_back(K);                     // записываем объект K в ответ 
  else
    for i = 1 to n                        
       if к объекту К можно добавить элемент alpha[i] в конец
         K.push_back(alpha[i])                      
         genObj(K, p + 1)                 // добавляем alpha[i] в конец и вызываем функцию genObj от нового полученного префикса 
         К.pop_back()

Генерация с помощью процедуры получения следующего объекта

Составляем первый объект — [math]K_1[/math], для него получаем следующий объект — [math]K_2[/math], для [math]K_2[/math] получаем [math]K_3[/math], далее действуем также, для [math]K_i[/math] получая [math]K_i[/math][math]_+[/math][math]_1[/math] объект, пока не получим последний объект [math]K_n[/math].

Примеры

Пример генерации сочетаний из N элементов по M в лексикографическом порядке

Данный алгоритм генерирует все сочетания из [math]n[/math] элементов по [math]m[/math].

• [math]\mathtt{genChooses(k, l)}[/math] — процедура генерирования,
• [math]\mathtt{list \lt int\gt }[/math] [math]\mathtt{a}[/math] — текущее сочетание,
• [math]\mathtt{k}[/math] — следующий элемент в сочетании,
• [math]\mathtt{l}[/math] — глубина рекурсии,
• [math]\mathtt{list \lt list \lt int\gt \gt }[/math] — все сгенерированные сочетания в нужном порядке.

list<int> genChooses(int k, int l)
  a[l] = k
  if l == m        
    ans.push_back(a)
  for i = k + 1 to n
    genChooses(i, l + 1);

Пример работы процедуры генерации

Иллюстрация работы процедуры генерирования всех сочетаний из 4 по 2.

Источники информации

• Википедия — Перечисление (комбинаторика)
• Дискретная математика — Алгоритмы
• AlgoList — Комбинаторика и переборные задачи
• MAXimal :: Комбинаторика