Изменения

При <tex>p=2, p=3</tex> доказательство очевидно. Докажем для <tex>p\geqslant 5</tex>. Так как <tex>\mathbb{Z}_p</tex> - поле, то для каждого <tex>x</tex> есть такое <tex>y</tex>, что <tex>xy\equiv 1(mod \pmod p)</tex>. Может оказаться, что для некоторых <tex>0\leqslant x\leqslant p-1</tex> выполнено <tex>x=y</tex>. Найдём все такие <tex>x</tex>, что <tex>x^2\equiv 1(mod \pmod p)</tex>. <tex>x^2-1\equiv 0(mod \pmod p) \Rightarrow (x-1)(x+1)\equiv 0(mod \pmod p)</tex>. Значит <tex>x\equiv 1(mod \pmod p)</tex> или <tex>x\equiv p-1(mod \pmod p)</tex>.

Из этого следует, что множество <tex>{2,3,\cdots,p-2}</tex> разбивается на пары такие, что произведение чисел внутри каждой из них сравнимо с <tex>1</tex> по модулю<tex>p</tex>. Таким образом <tex>(p-2)!\equiv 1(mod \pmod p)</tex>. Но <tex>p-1\equiv -1(mod \pmod p)</tex>. Следовательно <tex>(p-1)!\equiv -1(mod \pmod p)</tex>

Если <tex>p\equiv 1(mod \pmod 4),p\in\mathbb{P}</tex>, то оно представимо в виде суммы двух квадратов.

Из леммы Вильсона <tex>(p-1)!\equiv 1(mod \pmod p) \Rightarrow (4n)!+1\equiv 0 (mod \pmod p) </tex>. Следовательно <tex>1\cdot 2\cdots (2n)\cdot(p-2n)\cdots(p-1)+1 \equiv ((2n)!)^2+1(mod \pmod p)</tex>. Теперь говорим, что <tex> N = (2n)!</tex>, тогда <tex>N^2 \equiv -1(mod \pmod p)</tex>.

Рассмотрим пары чисел <tex>(m,s)</tex> такие, что <tex>0\leqslant m, s \leqslant [\sqrt{p}]</tex>. Число таких пар равно <tex>([\sqrt{p}]+1)^2>p</tex>. Значит по крайней мере для двух различных пар <tex>(m_1,s_1),(m_2,s_2)</tex> остатки от деления <tex>m_1+Ns_1, m_2+Ns_2</tex> на <tex>p</tex> будут одинаковыми, т.е. число <tex>a+Nb</tex>, где <tex>a=m_1-m_2, b=s_1-s_2</tex>, будет делится на <tex>p</tex>. При этом <tex>~|a|<\sqrt{p},~|b|<\sqrt{p}</tex>. Но тогда число <tex>a^2-N^2b^2=(a-Nb)(a+Nb)</tex> делится на <tex>p</tex>. Учитывая, что <tex>N^2\equiv -1(mod \pmod p)</tex>, получим, что <tex>a^2+b^2\equiv 0(mod \pmod p) \Rightarrow a^2+b^2=rp</tex>, где <tex>r\in\mathbb{N}</tex>. Но <tex>a^2+b^2<2p\Rightarrow r=1</tex>, а значит <tex>a^2+b^2=p</tex>.

Если <tex>p\equiv 1(mod \pmod 4),p\in\mathbb{P}</tex>, то оно представимо в виде суммы двух квадратов. (В форме алгоритма)