Нормальная форма Куроды

Определение:

Грамматика представлена в нормальной форме Куроды (англ. Kuroda normal form), если каждое правило имеет одну из четырех форм: [math]AB \rightarrow CD[/math] [math]A \rightarrow BC[/math] [math]A \rightarrow B[/math] [math]A \rightarrow a[/math] или [math]A \rightarrow \varepsilon[/math] Где [math]A, B, C, D[/math] — нетерминалы, [math]a[/math] — терминал.

Данная грамматика названа в честь Куроды (англ. Sige-Yuki Kuroda), который изначально назвал ее линейно ограниченной грамматикой.

Определение:

Грамматика представлена в нормальной форме Пенттонена (англ. Penttonen normal form), если каждое правило имеет одну из трех форм: [math]AB \rightarrow CD[/math] [math]A \rightarrow BC[/math] [math]A \rightarrow a[/math] или [math]A \rightarrow \varepsilon[/math] Где [math]A, B, C, D [/math] — нетерминалы, [math]a[/math] — терминал.

Также грамматику Пенттонена называют односторонней нормальной формой (англ. one-sided normal form). Как можно заметить, она является частным случаем нормальной формы Куроды: когда [math]A = C[/math] в первом правиле определения. Для каждой контестно-зависимой грамматики существует слабо эквивалентная ей грамматика в форме Пенттонена.

Лемма (об удалении терминалов):

Для любой грамматики [math]G = (N, T, P, S)[/math] может быть построена грамматика [math]G' = (N', T, P', S)[/math] такая, что: все правила в [math]P'[/math] имеет вид [math]\alpha \rightarrow \beta[/math] где [math]\alpha \in (N')^+[/math] и [math]\beta \in (N')^*[/math] или [math]A \rightarrow a[/math], где [math]A \in N', a \in T[/math], [math]L(G') = L(G)[/math] Кроме того, если G контекстно-свободна или контекстно-зависима, то и [math]G'[/math] будет соответственно контекстно-свободной или контекстно-зависимой.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Каждому терминалу [math]a[/math] поставим в соотвествие новый символ [math]a'[/math], которого нет в [math]N \cup T[/math], такой что [math]a' \neq b'[/math] для разных терминалов [math]a[/math] и [math]b[/math]. Пусть [math]N' = N \cup \{a' : a \in T\}[/math]. Пусть [math]\alpha = x_1x_2...x_n[/math] — часть правила, тогда [math]\alpha' = y_1y_2...y_n[/math], где [math]y_i = \{x_i[/math], если [math]x_i \in N[/math]; [math]x_i'[/math], если [math]x_i \in T\}[/math] для [math]1 \leqslant i \leqslant n[/math]. Построим грамматику [math]G' = (N', T, P', S)[/math], где [math]P' = \{\alpha' \rightarrow \beta' : \alpha \rightarrow \beta \in P\} \cup \{a' \rightarrow a: a \in T\}[/math]. Покажем, что [math]L(G') = L(G)[/math]. Пусть [math]w \in L(G)[/math]. Тогда в G существует вывод [math]S = w_0 \Rightarrow w_1 \Rightarrow ... \Rightarrow w_n \Rightarrow w[/math]. Согласно конструкции [math]P'[/math], в [math]G'[/math] существует вывод [math]S = w_0' \Rightarrow w_1' \Rightarrow w_2' \Rightarrow ... \Rightarrow w_n' = v_0 \Rightarrow v_1 \Rightarrow v_2 \Rightarrow ... \Rightarrow v_m = w[/math]. Для [math]0 \leqslant i \leqslant n - 1[/math] в переходах [math]w_i' \Rightarrow w_{i + 1}'[/math] используем правило [math]\alpha' \rightarrow \beta'[/math], так как правило [math]\alpha \rightarrow \beta[/math] было использовано при выводе [math]w_i \Rightarrow w_{i + 1}[/math]. Для [math]0 \leqslant j \leqslant m - 1[/math] в переходах [math]v_j \Rightarrow v_{j + 1}[/math] используем правила вида [math]a' \rightarrow a[/math]. Заменяем разрешенные в [math]w'[/math] символы на новые и получаем, что [math]w \in L(G')[/math]. Тогда [math]L(G) \lt = L(G')[/math]. Пусть [math]x \in L(G')[/math]. Тогда в [math]G'[/math] существует вывод [math]S \Rightarrow^* x[/math]. Мы можем поменять порядок применения правил в этом выводе: сначала применяем только правила вида [math]\alpha' \rightarrow \beta'[/math], а потом только правила вида [math]a' \rightarrow a[/math]. Из построения: после применения правила вида [math]a' \rightarrow a[/math] полученное [math]a[/math] не может быть использовано при применении правил из [math]P'[/math]. Изменение порядка вывода не меняет язык, то есть в [math]G'[/math] существует вывод: [math]S = x_0' \Rightarrow x_1' \Rightarrow ... \Rightarrow x_r' \Rightarrow x' \Rightarrow y_1 \Rightarrow y_2 \Rightarrow ... \Rightarrow y_s = x[/math], где для [math]0 \leqslant i \leqslant r - 1 x_{i + 1}' \in (N')^*[/math] и в переходе [math]x_i' \rightarrow x_{i + 1}'[/math] было использовано правило вывода [math]\alpha' \rightarrow \beta'[/math] и для [math]1 \leqslant j \leqslant s[/math] было использовано правило [math]a' \rightarrow a[/math], чтобы получить [math]y_j \rightarrow y_{j + 1}[/math]. Получаем вывод в [math]G[/math]: [math]S = x_0 \Rightarrow x_1 \Rightarrow ... \Rightarrow x_n = x[/math]. Тогда [math]L(G') \lt = L(G)[/math]. Таким образом, [math]L(G') = L(G)[/math]. Очевидно, что если грамматика была неукорочивающейся, то она такой и останется.

[math]\triangleleft[/math]

Лемма (об удалении длинных правил):

Для любой грамматики [math]G = (N, T, P, S)[/math] может быть построена грамматика [math]G' = (N', T, P', S)[/math] такая, что: любое правило из [math]P'[/math] имеет вид: [math]\alpha \rightarrow \beta[/math], где [math]\alpha \in (N')^+[/math] и [math]\beta \in (N')^+[/math] и [math]|\alpha| \leqslant |\beta|[/math], или [math]A \rightarrow a[/math], или [math]A \rightarrow \varepsilon[/math], где [math]A \in N'[/math] и [math]a \in T[/math] [math]L(G') = L(G)[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Сначала по [math]G[/math] построим грамматику [math]G'' = (N'', T, P'', S)[/math], как в доказательстве леммы 1. По [math]G''[/math] построим грамматику [math]G'[/math], в которой: [math]N' = N'' \cup \{D\}[/math], где [math]D[/math] — новый символ, [math]P'[/math] получаем из [math]P''[/math] заменой всех правил вида [math]\alpha \rightarrow \beta \in P''[/math], где [math]|\alpha| \gt |\beta|[/math] на правила вида [math]\alpha \rightarrow \beta D^{|\alpha| - |\beta|}[/math], и добавлением правила [math]D \rightarrow \varepsilon[/math]. Теперь все правила в [math]P'[/math] имеет требуемую форму. Покажем, что [math]L(G') = L(G)[/math]. Заметим, что замена правила [math]\alpha \rightarrow \beta[/math] на [math]\alpha \rightarrow \beta D^{|\alpha| - |\beta|}[/math] не меняет язык грамматики, потому что дополнительная буква [math]D[/math] запрещается при добавлении перехода [math]D \rightarrow \varepsilon[/math], а других правил для [math]D[/math] нет. Тогда получаем, что [math]L(G) \lt = L(G')[/math], аналогично обратные изменения не меняют язык, то есть [math]L(G') \lt = L(G)[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Определение:

Грамматика имеет порядок n, если [math]|\alpha| \leqslant n[/math] и [math]|\beta| \leqslant n[/math] для любого ее правила [math]\alpha \rightarrow \beta[/math].

Лемма (об уменьшении порядка грамматики):

(Уменьшение порядка грамматики) Для любой грамматики [math]G = (N, T, P, S)[/math] порядка [math]n \geqslant 3[/math], такой что: любое правило из [math]P'[/math] имеет вид [math]\alpha \rightarrow \beta[/math], где [math]\alpha \in (N')^+[/math] и [math]\beta \in (N')^+[/math] и [math]|\alpha| \leqslant |\beta|[/math] или [math]A \rightarrow a[/math] или [math]A \rightarrow \varepsilon[/math], где [math]A \in N'[/math] и [math]a \in T[/math] может быть построена грамматика [math]G' = (N', T, P', S)[/math] порядка [math]n - 1[/math] такая, что [math]L(G') = L(G)[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Разделим [math]P[/math] на три подмножества: [math]P_1 = \{ \alpha \rightarrow \beta | \alpha \rightarrow \beta \in P, |\alpha| \leqslant 2, |\beta| \leqslant 2 \}[/math], [math]P_2 = \{ \alpha \rightarrow \beta | \alpha \rightarrow \beta \in P, |\alpha| \geqslant 2, |\beta| \geqslant 3 \}[/math], [math]P_3 = \{ \alpha \rightarrow \beta | \alpha \rightarrow \beta \in P, |\alpha| = 1, |\beta| \geqslant 3 \}[/math]. Очевидно, что [math]P = P_1 \cup P_2 \cup P_3[/math]. Построим [math]G'[/math] следующим образом: Если правило [math]p \in P_2[/math], то оно имеет вид [math]AB\alpha' \rightarrow CDE\beta'[/math], где [math]\alpha' \in N^*[/math] и [math]\beta' \in N^*[/math]. Полагаем [math]N_p = \{ A_p, B_p \}[/math], [math]P_p = \{ AB \rightarrow A_pB_p, A_p \rightarrow C, B_p\alpha' \rightarrow DE\beta'\}[/math], где [math]A_p, B_p[/math] — дополнительные символы не из [math]N: \{A_p, B_p\} \cap \{A_q, B_q\} = 0[/math] для разных правил [math]p[/math] и [math]q[/math] из [math]P_2[/math]. Если правило [math]p \in P_3[/math], то оно имеет вид [math]A \rightarrow CDE\beta'[/math], где [math]\beta' \in N^*[/math]. Полагаем [math]N_p = \{B_p \}[/math], [math]P_p = \{A \rightarrow CB_p, B_p \rightarrow DE\beta'\}[/math], где [math]A_p, B_p[/math] — дополнительные символы. Тогда [math]N' = N \bigcup_{p \in (P_2 \cup P_3)} N_p[/math], [math]P' = P_1 \bigcup_{p \in (P_2 \cup P_3)} P_p[/math]. Из построения очевидно, что [math]G'[/math] имеет порядок [math]n - 1[/math]. Покажем, что [math]L(G') = L(G)[/math]. Сначала докажем, что [math]L(G) \lt = L(G')[/math]. Это следует из того, что: все правила из [math]P_1[/math] применимы к обеим грамматикам, шаг вывода [math]\gamma_1AB\alpha'\gamma_2 \Rightarrow \gamma_1CDE\beta'\gamma_2[/math], благодаря правилу [math]p = AB\alpha \rightarrow CDE\beta' \in P_2[/math] в [math]G[/math]может быть использавано в [math]G'[/math] с помощью трех шагов: [math]\gamma_1AB\alpha'\gamma_2 \Rightarrow \gamma_1A_pB_p\alpha'\gamma_2 \Rightarrow \gamma_1CB_p\alpha'\gamma_2 \Rightarrow \gamma_1CDE\beta\gamma_2[/math], с использованием правил из [math]P_p[/math] и вывода [math]\gamma_1A\gamma_2 \Rightarrow \gamma_1CDE\beta'\gamma_2[/math] на основе правила [math]p = A\alpha \rightarrow CDE\beta' \in P_3[/math] в [math]G[/math], которое может быть применено в [math]G'[/math] с помощью трех шагов вывода: [math]\gamma_1A\alpha1'\gamma_2 \Rightarrow \gamma_1A_pB_p\alpha'\gamma_2 \Rightarrow \gamma_1CB_p\alpha'\gamma_2 \Rightarrow \gamma_1CDE\beta\gamma_2[/math]. Таким образом, любой вывод в [math]G[/math] может быть преобразован в вывод в [math]G'[/math]. Чтобы показать обратное включение, рассмотрим вывод [math]w \in L(G')[/math] в [math]G'[/math], который содержит применение правил вида [math]AB \rightarrow A_pB_p[/math] для какого-то правила [math]p = AB\alpha' \rightarrow CDE\beta' \in P_2[/math]. Заметим, что другие два правила из [math]P_p[/math] могут быть применены только если правило [math]AB \rightarrow A_pB_p[/math] было применено в этом выводе ранее. Данный вывод имеет вид (1) : [math]S \Rightarrow^* \gamma_1AB\alpha'\gamma_2 \Rightarrow \gamma_1A_pB_p\alpha'\gamma_2 \Rightarrow^q_1 \gamma_1'A_pB_p\alpha'\gamma_2' \Rightarrow \gamma_1'CB_p\alpha'\gamma_2' \Rightarrow^q_2 \gamma_1''B_p\alpha'\gamma_2'' \Rightarrow \gamma_1''DE\beta'\gamma_2'' \Rightarrow^* w \in T^*[/math], где [math]q_1[/math] — последовательность правил, примененых после [math]AB \rightarrow A_pB_p[/math] и до [math]A_p \rightarrow C[/math], которая осуществляет [math]\gamma_1 \Rightarrow^* \gamma_1'[/math] и [math]\gamma_2 \Rightarrow^* \gamma_2'[/math], где [math]q_2[/math] — последовательность правил, осуществляющих [math]\gamma_1'C \Rightarrow^* \gamma_1''[/math] и [math]\gamma_2' \Rightarrow^* \gamma_2''[/math]. Или вид (2) : [math]S \Rightarrow^* \gamma_1AB\alpha'\gamma_2 \Rightarrow \gamma_1A_pB_p\alpha'\gamma_2 \Rightarrow^{q_1}' \gamma_1'A_pB_p\alpha'\gamma_2' \Rightarrow \gamma_1'A_pDE\beta'\alpha'\gamma_2' \Rightarrow^{q_2'} \gamma_1''A_p\gamma_2'' \Rightarrow \gamma_1''C\gamma_2'' \Rightarrow^* w \in T^*[/math], где [math]q_1'[/math] — последовательность правил, которая осуществляет [math]\gamma_1 \Rightarrow^* \gamma_1'[/math] и [math]\gamma_2 \Rightarrow^* \gamma_2'[/math], где [math]q_2'[/math] — последовательность правил, осуществляющих [math]\gamma_1' \Rightarrow^* \gamma_1''[/math] и [math]DE\beta'\gamma_2' \Rightarrow^* \gamma_2''[/math]. Таким образом, существует вывод: [math]S \Rightarrow^* \gamma_1AB\alpha'\gamma_2 \Rightarrow \gamma_1CDE\beta'\gamma_2 \Rightarrow^{q_1} \gamma_1'CDE\beta'\gamma_2' \Rightarrow^{q_2} \gamma_1''DE\beta'\gamma_2'' \Rightarrow^* w \in T^*[/math], который получается из (1) заменой правил [math]P_p[/math] на применение [math]p = AB\alpha' \rightarrow CDE\beta \in P[/math]. Аналогично, в случае (2) мы можем заменить применение [math]P_p[/math] на [math]p[/math]. Кроме того, это верно и для применения [math]P_q,[/math] где [math]q \in P_3[/math]. Таким образом, для [math]r \in P_2 \cup P_3[/math] мы можем заменить все применения [math]P_r[/math] на [math]r[/math], то есть получаем вывод [math]w[/math], который состоит только из правил из [math]P[/math]. Тогда [math]w \in L(G)[/math] и [math]L(G') \lt = L(G)[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Любую грамматику [math]G[/math] можно преобразовать к грамматике [math]G_K[/math] в нормальной форме Куроды так, что [math]L(G) = L(G_K)[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

По лемме 1 построим из [math]G[/math] грамматику [math]G'[/math], затем по лемме 2 построим из [math]G'[/math] грамматику [math]G''[/math], Тогда [math]G''[/math] удовлетворит требованиям леммы 3. Пусть [math]G''[/math] имеет порядок [math]n[/math]. Если [math]n = 2[/math], то [math]G''[/math] в нормальной форме Куроды и [math]G_K = G''[/math]. Если [math]n \geqslant 3[/math], построим [math]G'''[/math] порядка [math]n - 1[/math] из [math]G''[/math] по лемме 3. Понятно, что [math]G'''[/math] удовлетворяет условиям леммы 3. Будем повторять процесс, пока не получим грамматику порядка [math]2[/math], которую и примем за [math]G_K[/math].

[math]\triangleleft[/math]