Теоретико-множественные операции над графами

Пусть графы [math]G_1[/math] и [math]G_2[/math] имеют непересекающиеся множества вершин [math]V_1[/math] и [math]V_2[/math] и непересекающиеся множества ребер [math]X_1[/math] и [math]X2[/math].

Определение:

Объединением [math]G_1 \cup G_2[/math] называется граф, множеством вершин которого является [math]V=V_1 \cup V_2[/math], а множество ребер [math]X=X_1 \cup X_2[/math].

Определение:

Соединением [math]G_1 + G_2[/math] называется граф, который состоит из [math]G_1 \cup G_2[/math] и всех ребер, соединяющих [math]V_1[/math] и [math]V_2[/math].

Определение:

Произведением [math]G_1 \times G_2[/math] называется граф с множеством вершин [math]V[/math] равным декартовому произведению [math]V_1 \times V_2[/math]. Множество ребер [math]X[/math] определяется следующим образом: Рассмотрим любые две вершины [math]u=(u_1, u_2)[/math] и [math]v=(v_1, v_2)[/math] из [math]V=V_1 \times V_2[/math]. Вершины [math]u[/math] и [math]v[/math] смежны в [math]G=G_1 + G_2[/math] тогда и только тогда, когда ([math]u_1 = v_1[/math], а [math]u_2[/math] и [math]v_2[/math] - смежные) или ([math]u_2 = v_2[/math], а [math]u_1[/math] и [math]v_1[/math] - смежные).

Определение:

Композицией [math]G_1[G_2][/math] называется граф с множеством вершин [math]V[/math] равным декартовому произведению [math]V_1 \times V_2[/math]. Множество ребер [math]X[/math] определяется следующим образом: Так же рассмотрим любые две вершины [math]u=(u_1, u_2)[/math] и [math]v=(v_1, v_2)[/math] из [math]V=V_1 \times V_2[/math]. Вершины [math]u[/math] и [math]v[/math] смежны в [math]G=G_1 + G_2[/math] тогда и только тогда, когда ([math]u_1[/math] и [math]v_1[/math] - смежные) или ([math]u_1 = v_1[/math], а [math]u_2[/math] и [math]v_2[/math] - смежные).