48
правок
Изменения
Тикет 8-8
==Математическое ожидание случайной величины==
{{Определение
|definition='''Математическое ожидание ''' (англ. ''mathematical expectation)''' ) (<tex>E\xi</tex>) {{--- }} мера среднего значения случайной величины, равна <tex>E\xi = \sum \xi(\omega)p(\omega)</tex>
}}
==Пример==
Пусть наше вероятностное пространство — {{---}} «честная кость»
<tex> \xi(i) = i </tex>
<tex> E\xi = 1\cdot \genfrac{}{}{1pt}{}{1/}{6}+2\cdot \genfrac{}{}{1pt}{}{1/}{6 } \dots +6\cdot \genfrac{}{}{1pt}{}{1/}{6 } = 3.5</tex>
==Свойства математического ожидания==
* Математическое ожидание числа есть само число.
:<tex>E(a) = a</tex>, где <tex>a \in R</tex> {{---}} константа.
* Математическое ожидание сохраняет неравенства.
:Если <tex>0 \le a \le b</tex>, и <tex>b</tex> {{---}} случайная величина с конечным математическим ожиданием, то математическое ожидание случайной величины <tex>a</tex> также конечно, и <tex>0 \le E(a) \le E(b)</tex>.
* Математическое ожидание не зависит от поведения случайной величины на событии вероятности нуль.
:Если <tex>a = b</tex>, то <tex>E(a) = E(b)</tex>.
* Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин <tex>a</tex> и <tex>b</tex> равно произведению их математических ожиданий.
:<tex>E(a \cdot b) = E(a) \cdot E(b)</tex>
==Линейность математического ожидания==
Математическое ожидание <tex>E</tex> линейно.
|proof=
}}
Найти математическое ожидание суммы цифр на случайной кости домино.
Пусть <tex> \xi </tex> — {{---}} случайная величина, которая возвращает первое число на кости домино, а <tex> \eta </tex> — {{---}} возвращает второе число.
Очевидно, что <tex> E(\xi)= E(\eta)</tex>.
Посчитаем <tex>E(\xi)</tex>.
<tex> E(\xi)={\sum_{i=0}^6 \limits}i \cdot p(\xi=i)={\sum_{i=0}^6 \limits}i \cdot \frac{1}{7}=3</tex>
Получаем ответ
===Пример 2===
Пусть у нас есть строка <tex>s</tex>. Строка <tex>t </tex> генерируется случайным образом так, что два подряд идущих символа неравны. Какое математическое ожидание количества совпавших символов? Считать что размер алфавита равен <tex>k</tex>, а длина строки <tex>n</tex>.
Рассмотрим случайные величины <tex>\xi^i</tex> — {{---}} совпал ли у строк <tex> i </tex>-тый символ.
Найдем математическое ожидание этой величины
<tex>E(\xi^i)=0 \cdot p(\xi^i=0)+1 \cdot p(\xi^i=1)=p(s[i]=t[i])</tex> где <tex>s[i],t[i]</tex> — {{---}} <tex>i</tex>-тые символы соответствующих строк.
Так как появление каждого символа равновероятно, то <tex>p(s[i]=t[i])=\frac{1}{k}</tex>.
===Пример 3===
Найти математическое ожидание количества инверсий на всех перестановках чисел от <tex>1 </tex> до <tex>n</tex>.
Пусть <tex> \xi </tex> {{- --}} случайная величина, которая возвращает количество инверсий в перестановке.
Очевидно, что вероятность любой перестановки равна <tex> {1 \over n!} </tex>
Итого: <tex> E\xi = {1 \over n!}\cdot{n \cdot (n-1) \over 2}\cdot{n! \over 2} = {n \cdot (n-1) \over 4} </tex>
==Смотри также==
* [[Дисперсия случайной величины]]
== Источники информации ==
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Математическое_ожидание Wikipedia {{---}} Математическое ожидание]
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Теория вероятности]]
