Изменения
→Полиномиальная формула
== Основные вопросы ==
=== Признак Вейерштрасса ==={{Теорема Стокса--Зайдля для рядов|statement=Рассмотрим ряд <tex> \sum u_n(x) </tex>, где <tex> u_n : E \rightarrow \mathbb{R} </tex> (<tex> E </tex>— метрическое пространство). Пусть есть ряд <tex> \sum c_n </tex> — сходящийся, такой, что <tex> \forall x \in E \ |u_n(x)| \leqslant c_n </tex>.
=== Теорема о дифференцировании функционального рядаСтокса--Зайдля для рядов ==={{Теорема|statement=Пусть ряд <tex> \sum u_n(x) </tex>, где <tex> u_n: X \rightarrow \mathbb{R} </tex> ( <tex>X</tex> — метрическое пространство), равномерно сходится на <tex> X </tex>. Пусть есть точка <tex> x_0 \in X </tex>, такая, что все <tex> u_n </tex> непрерывны в <tex> (\cdot) x_0 </tex>. Тогда <tex> S(x) = \sum u_n(x) </tex> непрерывна в точке <tex> (\cdot) x_0 </tex>.|proof=1) <tex> S_n(x) = \sum_{n = 1}^{N}u_n(x) </tex> — непрерывна в <tex> (\cdot) x_0 </tex>
Утв. 2 следует из [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Теорема о неявном отображенииСтокса--Зайдля для рядов|т. 1. Стокса-Зайдля для рядов]]
при условии 1: <tex> \exists lim_{y \rightarrow y_0} f(x, y) === Признак Вейерштрасса ===http://ru.wikipedia.org/wikig(x) </%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D0%BA_%D0%92%D0%B5%D0%B9%D0%B5%D1%80%D1%88%D1%82%D1%80%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B0tex> — и этот предел равномерный
<tex>\exists lim_{x \rightarrow x_0}f(x, y) === Теорема Стокса--Зайдля для рядов ====== Теорема об интегрировании функционального ряда ====== Теорема о дифференцировании функционального ряда ====== Теорема о почленном предельном переходе в суммах ====== Теорема о перестановке пределов ===https://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:Z1SfYaV1tPAJ:g106.pi17.com/manuals/matan_s3h(y)</11_141008_alpha_01.pdf+&hl=ru&pid=bl&srcid=ADGEESh22ESr2QFuJhr4XfkACzo9mAimVz8RbDC6vQ-Gp0b66Ecr17N7x9qblJMcsv5REr2iUU6iTLgH2kac75FJ1ueEcTEom339HMM3TdYnsm_tB3NjTpZQOc5RBH3y00Nzl4AsfByx&sig=AHIEtbTuvWPiEZpTrWkf4edHXYEQnDUY1wtex>
=== Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда ===
=== Метод суммирования Абеля ===
=== Теорема о круге сходимости степенного ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> (A) </tex> <tex> \sum_{k=0}^{+ \infty} a_k(z-z_0)^k </tex> — произвольный степенной ряд <tex> [ a_k \in \mathbb{C}, z </tex> — комплексная переменная <tex> ] </tex> или <tex> [ a_k \in \mathbb{R}; z, z_0 \in \mathbb{R} ] </tex>
Возможны три случая:
1) <tex> \forall z \in \mathbb{C} </tex> ряд <tex> (A) </tex> сходится
2) <tex> (A) </tex> сходится только при <tex> z = z_0 </tex>
3) <tex> \exists R </tex> <tex> 0 < R < + \infty </tex> при
<tex> |z - z_0| < R </tex> сходится
<tex> |z - z_0| > R </tex> расходится
<tex> R </tex> — радиус сходимости
|proof=
Нужно доказать абсолютную сходимость
<tex> \sum |a_k| \cdot |z - z_0|^k </tex>
* Признак Коши: <tex> \overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n| \cdot |z - z_0|^n} = \overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \cdot |z - z_0| = |z - z_0| \cdot\overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n|} </tex>
1) <tex> \overline{lim} = 0 </tex> при всех <tex> z </tex> ряд <tex> (A) </tex> сходится абсолютно
2) <tex> \overline{lim} = + \infty </tex> при <tex> z = z_0 \text{ } lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n| \cdot |z - z_0|^n} = 0 </tex>, т.е. ряд сходится
при <tex> z \ne z_0 \text{ } lim \sqrt[n]{...} = + \infty </tex> расходится (слагаемые <tex> \nrightarrow 0 </tex>)
3) <tex> \overline{lim} \sqrt[n]{a_n} </tex> — конечен <tex> = \frac{1}{R} </tex>
<tex> |z - z_0| < R </tex> ряд <tex> (A) </tex> сходится абсолютно
<tex> |z - z_0| > R </tex> расходится (слагаемые <tex> \nrightarrow 0 </tex>)
}}
=== Теорема о равномерной сходимости и непрерывности степенного ряда ===
{{Теорема
|statement=
Пусть ряд <tex> (A) = \sum a_n(z - z_0)^n, 0 < R \le + \infty </tex> — радиус сходимости. Тогда:
1) Для <tex> r : 0 < r < R </tex> ряд <tex> (A) </tex> равномерно сходится в круге <tex> \overline{B(z_0, r)} </tex>
2) В круге <tex> B(z_0, R) </tex> сумма ряда <tex> (A) </tex> — непрерывна.
|proof=
(1) [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Вейерштрасса|Признак Вейерштрасса]]
<tex> z \in \overline{B(z_0, r)} </tex>
<tex> |a_n(z - z_0)^n| = |a_n| \cdot r^n </tex>
<tex> \sum |a_n| \cdot r^n </tex> — сходится! т.к. <tex> \sum a_n \cdot r^n </tex> — абс. сх.
<tex> (z := z_0 + r \in B(z_0, R)) </tex>
(2) фиксируем <tex> z \in B(z_0, R) </tex>; Возьмём <tex> r : |z - z_0| < r < R </tex>
В <tex> B(z_0, r) </tex> ряд р. сх. и слагаемые непр. <tex> \Rightarrow </tex> сумма непрерывна.
}}
=== Линейные и комплексно линейные отображения. Уравнения Коши--Римана ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> f: E \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C}, \ z_0 \in \operatorname{Int} E, \ f </tex> — комплексно дифференцируема в точке <tex> z_0 </tex>. Тогда, если <tex> f \leftrightarrow F: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2, \ (x, y) \mapsto (\operatorname{Re}{f(x + iy)}, \operatorname{Im}{f(x + iy)} ) </tex>, отображение <tex> F </tex> дифференцируемо в <tex> (x_0, y_0) </tex> и выполнены соотношения:
<tex> \frac{\partial F_1}{\partial x} (x_0, y_0) = \frac{\partial F_2}{\partial y} (x_0, y_0) </tex>
<tex> \frac{\partial F_1}{\partial y} (x_0, y_0) = - \frac{\partial F_2}{\partial x} (x_0, y_0) </tex>
(уравнения Коши-Римана)
|proof=
Википедия [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%8F_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D0%B8_%E2%80%94_%D0%A0%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%B0]
}}
=== Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда ===
{{Теорема
|statement=
Ряд <tex> (A) = \sum a_n(z - z_0)^n = f(z), R \in [0, + \infty], |z - z_0| < R </tex>
Ряд <tex> (A)' = \sum_{n = 1}^{+ \infty} n a_n (z - z_0)^{n - 1} </tex>
Тогда: 1) радиус сх-ти <tex> (A') = R </tex>. 2) при <tex> |z - z_0| < R; f'(z) = \sum n a_n (z - z_0)^{n - 1} </tex>
[Тогда <tex>f</tex> — дифф. при <tex> |z - z_0| < r </tex> и <tex> f'(z) = \sum n a_n (z - z_0)^{n - 1} </tex> ]
|proof=
<tex>R = \frac{1}{\overline{\lim}\sqrt[n]{|a_n|}}; R_A = \frac{1}{\overline{\lim}\sqrt[n]{(n + 1)|a_{n + 1}|}} = R</tex>
<tex> \frac{f(z + h) - f(z)}{h} = \sum \frac{a_n (z + h - z_0)^n - a_n (z - z0)^n }{h} = \sum a_n \frac{(z + h - z_0) - (z - z_0)^n}{h} </tex>
Проверим р. сх. <tex> z \in B(z_0, r), r < R </tex>; <tex> ]h : |h| \le r - |z - z_0| </tex>
Тогда: <tex> z + h \in \overline{B(z_0, r)}; |z + h - z_0| \le r; |z - z_0| \le r </tex>
<tex> |a_n \frac{(z + h - z_0)^n - (z - z_0)^n}{h}| \le \frac{|a_n|}{|h|} n r^{n - 1} |h| = |a_n| n r^{n - 1} </tex>
<tex> \sum h|a_n|r^{n - 1} </tex> — сх. <tex>\Rightarrow</tex> по [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Вейерштрасса|признаку Вейерштрасса]] р. сх. при <tex> |h| < r - |z - z_0| </tex>
<tex> f(z) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(z + h) - f(z)}{h} = \sum \lim a_n \frac{(z + h - z_0)^n - (z - z_0)^n}{h} = \sum n(z - z_0)^{n - 1} a_n </tex>
}}
=== Экспонента, синус, косинус. Свойства. ===
1.1) <tex> \mathrm{exp}(0) = 1 </tex>
1.2) <tex> \mathrm{exp}(\overline{z}) = \overline{\mathrm{exp}(z)}; \ /S_n(\overline{z}) = \overline{S_n(x)})/</tex>
1.3) <tex> (\mathrm{exp}(z))' = \mathrm{exp}(z); \ /\sum_{n = 1}^{+ \infty} (\frac{z^n}{n!})' = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{z^{n - 1}}{(n - 1)!} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{z^n}{n!}/ </tex>
1.4) <tex> (\mathrm{exp}(x))'|_{x = 0} = 1 </tex>
{{Теорема
|statement=
<tex> \forall z, w \in \mathbb{C} : \mathrm{exp}(z + w) = \mathrm{exp}(z) ⋅ \mathrm{exp}(w) </tex>
|proof=
<tex> \sum \frac{z^n}{n!} \cdot \sum \frac{w^k}{k!} </tex>
<tex> \sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{(z + w)^k}{k!} = \sum_{k = 0}^{+ \infty} \sum_{l = 0}^{k} \frac{z^l}{l!} \cdot \frac{w^{k - l}}{(k - l)!} = \sum_{l = 0}^{+ \infty} \sum_{k = l}^{+ \infty} \frac{z^l}{l!} \cdot \frac{w^{k - l}}{(k - l)!} = </tex>
<tex> = \sum_{l = 0}^{+ \infty} \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{z^l}{l!} \cdot \frac{w^n}{n!} = \sum_{l = 0}^{+ \infty}(\frac{z^l}{l!} \cdot \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{w^n}{n!}) = (\sum \frac{w^n}{n!})(\sum \frac{z^l}{l!}) </tex>
}}
* Следствие: <tex> \mathrm{exp}(z) \ne 0 </tex> — ни при каких <tex> z </tex>
2.1) <tex> \sin x = \frac{\mathrm{exp}(ix) - \mathrm{exp}(-ix)}{2i} </tex>
2.2) <tex> \cos x = \frac{\mathrm{exp}(ix) + \mathrm{exp}(-ix)}{2} </tex>
2.3) <tex> \cos(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!} </tex>
2.4) <tex> \sin(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{z^{2n - 1}}{(2n - 1)!} </tex>
2.5) Пусть <tex> T(x) = \mathrm{exp}(ix) </tex>
<tex> T(x+y) = T(x)T(y) </tex>
<tex> \cos(x + y) = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y) </tex>
<tex> \sin(x + y) = \cos(x)\sin(y) + \cos(y)\sin(x) </tex>
2.6) <tex> |T(x)| = 1; \ \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 </tex>
<tex> (\frac{T(x) + T(-x)}{2})^2 + (\frac{T(x) - T(-x)}{2i})^2 = T(x)T(-x) = T(0) = \mathrm{exp}(i0) = 1 </tex>
2.7) <tex> \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1; \ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2}</tex>
<tex> \lim_{x \to 0} (\frac{\mathrm{exp}(ix) - 1}{ix}) = \lim_{x \to 0} (\frac{\cos(x) - 1}{ix} + \frac{i \sin(x)}{ix}) </tex>
-----
<tex> x \in \mathbb{C} \begin{cases} e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \ldots \\ \sin(x) = x + \frac{x^3}{3} + \ldots \\ \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \ldots \end{cases} </tex>
<tex> |x| < 1 \begin{cases} (1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha (\alpha - 1)}{2} x^2 + \ldots \\ \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \ldots \\ \ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \ldots \end{cases}</tex>
<tex> \sum a_k \to </tex> [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Абеля равномерной сходимости|Абель]] <tex> \to \sum a_k \cdot x^k = f(x); \lim_{x \to 1- 0}f(x) = S </tex>
=== Единственность производной ===
{{Теорема
=== Необходимое условие дифференцируемости. ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R} </tex> — дифференцируемо в точке <tex> a \in \operatorname{Int}(E) </tex>
Тогда <tex> \forall x \ \exists {\partial f\over\partial x_k}(a) </tex> и матрица Якоби <tex> f'(a) = ({\partial f\over\partial x_1}(a), \ldots, {\partial f\over\partial x_m}(a)) </tex>
Замечание: Для <tex> F : E \rightarrow \mathbb{R}^l </tex> — дифференцируемо в точке <tex> a </tex>; <tex>F'(a) = ({\partial f_i\over\partial x_j})_{i = 1 \ldots l; j = 1 \ldots m} </tex>
|proof=
<tex>f(a + h) = f(a) + f'(a) \cdot h + o(h)</tex>
<tex> h := (0, \ldots, 0, t, 0, \ldots, 0) </tex>
<tex> f(a_1, \ldots, a_k + t, \ldots, a_m) = f(a_1 \ldots a_m) + (f'(a))_k \cdot t + o(t) </tex> — это св-во дифф-ти <tex> \varphi_k </tex> в <tex> \cdot (a) </tex> из [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Частные производные|опр. частн. производных]].
<tex> {o(h)\over ||L||} \rightarrow 0 </tex>
}}
=== Достаточное условие дифференцируемости ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}; \ \exists r \ B(a, r) \subset E </tex>, в шаре <tex>B(a, r) </tex> существуют все <tex> f'x_k, k = {1..m} </tex> и все производные непрерывны в точке <tex> a</tex>. Тогда <tex> f </tex> дифференцируема в точке <tex> a</tex>
|proof=
<tex> m = 2 </tex>
<tex> f(x_1, x_2) - f(a_1, a_2) = (f(x_1, x_2) - f(x_1, a_2)) + (f(x_1, a_2) - f(a_1, a_2)) =^* </tex> // <tex> =^* </tex> — По теореме Лагранжа
// <tex> \varphi_2(t) = f(x, t); \varphi_2(x_2) - \varphi_2(a_2) = \varphi'_2(t) \cdot (x_2 - a_2) </tex> // <tex> t </tex> — средняя точка
<tex> =^* \frac{\partial f}{\partial x_2}(x_1, \bar x_2)(x_2 - a_2) + \frac{\partial f}{\partial x_1}(\bar x_1, a_2)(x_1 - a_1) = </tex><tex> \frac{\partial f}{\partial x_2}(a_1, a_2)(x_2 - a_2) + \frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1, a_2)(x_1 - a_1) + </tex>
<tex> o(\begin{bmatrix} x_1 - a_1 \\ x_2 - a_2 \end{bmatrix}) \to ||\ldots|| = \sqrt{(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2} \begin{cases} + [\frac{\partial f}{\partial x_2}(x_1, \bar x_2) - \frac{\partial f}{\partial x_2}(a_1, a_2)](x_2 - a_2) + \\ [\frac{\partial f}{\partial x_1}(\bar x_1, a_2) - \frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1, a_2)](x_1 - a_1) \end{cases}</tex>
<tex>[\ldots] \cdot \frac{x - a}{\sqrt{(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2}} \ \</tex> где: <tex> \frac{x - a}{\sqrt{(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2}} \le 1 </tex> по модулю; <tex> [\ldots] \to 0 </tex> при <tex> (x_1, x_2) \to (a_1, a_2) </tex>
}}
=== Лемма об оценке нормы линейного оператора ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> A: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex> — линейный оператор. Тогда <tex> ||Ax|| \le C_A||x|| </tex>, где <tex> C_A = \sqrt{\sum_{i, j} a_{i, j}^2} </tex> (<tex> a_{i, j} </tex> — элементы его матрицы)
|proof=
<tex> ||x|| = 0 </tex>, т.е. если <tex> x = 0 </tex>, то тривиально
<tex> ||Ax||^2 = \sum_{i = 1}^{l}(\sum_{j = 1}^{m}a_{i, j}x_{j})^2 \le </tex> (КБШ) <tex> \sum_{i = 1}^{l}((\sum_{j = 1}^{m}a_{i, j}^{2})(\sum_{j = 1}^{m}x_{j}^{2})) = (\sum_{i = 1}^{l}\sum_{j = 1}^{m}a_{i, j}^{2})(\sum_{j = 1}^{m}x_{j}^{2}) </tex>
<tex> x^{(k)} \rightarrow x </tex>
<tex>||x^{(k)} - x|| \rightarrow 0 </tex>
<tex> Ax^{(k)} \xrightarrow{?} Ax </tex>
<tex> ||A(x^{(k)} - x)|| \le C_A||x_k - x|| </tex>
}}
=== Дифференцирование композиции ===
{{Теорема
|statement=
<tex> F : E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l; \ a \in IntE, F(E) \subset I </tex>
<tex> G : I \subset \mathbb{R}^l \to \mathbb{R}^n; \ b = F(a) \in IntI </tex>
<tex> F </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) a, G </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) b </tex>;
<tex> H = G \circ F \ // H(x) = G(F(x)) </tex>
Тогда: <tex> H </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) a; H'(a) = G'(F(a)) \cdot F'(a) </tex>
|proof=
<tex> F(a + h) = F(a) + F'(a)h + \alpha(h)||h||; \ // \alpha(h) \xrightarrow[h \to 0]{} 0 </tex>
<tex> G(b + k) = G(b) + G'(b)k + \beta(k)||k||; \ // \beta(k) \xrightarrow[k \to 0]{} 0 </tex>
<tex> H(a + h) = G(F(a + h)) = G(\overbrace{F(a)}^{b} + \overbrace{F'(a)h + \alpha(h)||h||}^{k}) = </tex><tex> G(b) + G'(b)(F'(a)h + \alpha(h)||h||) + \beta(k)||k|| = </tex>
<tex> = \overbrace{G(F(a)) + G'(F(a) \cdot F'(a)h)}^{H(a)} + \overbrace{G'(b)\alpha(h)||h|| + \beta(k)||k||}^{? o(h) \leftarrow \text{proverim}} </tex>
1. <tex> ||\ G'(b)\alpha(h)\|h\| \ || = \|h\| \cdot ||G'(b)\alpha(h)|| \le \|h\|\cdot C_{G(b)} \cdot ||\alpha(h)|| = o(h) </tex>
2. <tex> \beta(k)||k|| </tex>
<tex> \|k\| = || \ F'(a)h + \alpha(h)\|h\| \ || \le \overbrace{||F'(a)h||}^{C_{F'(a)} \cdot \|h\|} + \|\alpha(h)\|\cdot\|h\| \le (C_{F'(a)} + \|\alpha(h)\|\cdot \|h\|) </tex>
<tex> ||\ \beta(k)\cdot \|k\| \ || \le \overbrace{||\beta{k}||}^{\to 0, h \to 0} \cdot \overbrace{(C_{F'(a)} + ||\alpha(h)||)}^{ogr. pri: \ h \to 0} \cdot \|h\| = o(h)</tex>
<tex> F = (f_1(x_1 \ldots x_m), f_2(x_1 \ldots x_m), \ldots, f_l(x_1 \ldots x_m)) </tex>
<tex> G = (g_1(y_1 \ldots y_l), \ldots, g_n(y_1 \ldots y_l)) </tex>
<tex> H = \overbrace{g_1}^{h_1}(f_1(x_1 \ldots x_n), \ldots, f_l(x_1 \ldots x_n)), \ldots, \overbrace{g_n}^{h_n}(f \ldots)) </tex>
<tex> \frac{\partial h_i}{\partial x_j}(a) = \frac{\partial g_i}{\partial y_1}(b) \cdot \frac{\partial f_1}{\partial x_j}(a) + \frac{\partial g_i}{\partial y_2}(b) \cdot \frac{\partial f_2}{\partial x_j}(a) + \ldots + \frac{\partial g_i}{\partial y_l}(b) \cdot \frac{\partial f_l}{\partial x_j}(a) </tex>
}}
=== Дифференцирование «произведений» ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> F, G: \ E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex>, <tex> \lambda: E \to \mathbb{R} </tex>, <tex> a \in \operatorname{Int} E </tex>; <tex> F, G, \lambda </tex> — дифференцируемые в <tex> a </tex>. тогда:
1) <tex> (\lambda F)' (a) h = ( \lambda'(a) h ) F(a) + \lambda(a) (F'(a) h) </tex>
2) <tex> \left \langle F, G \right \rangle ' (a) h = \left \langle F'(a) h, G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a) h \right \rangle </tex>
(здесь <tex> \left \langle a, b \right \rangle </tex> — скалярное произведение <tex> a </tex> и <tex> b </tex>)
|proof=
1. Введём координатную ф-ю <tex> F = (f_1 \ldots f_l) </tex>
<tex> (\lambda f_i)'(a)h = (\lambda'(a)(h))f_i(a) + \lambda(a)(f'_i(a)h) </tex> — <tex>i</tex>-ая коорд. док. ф-лы; <tex> ]f_i \leftrightarrow f </tex>
<tex> \lambda(a + h)f(a + h) - \lambda(a)f(a) = (\lambda(a + h) - \lambda(a))f(a + h) + \lambda(a)(f(a + h) - f(a)) =
(\lambda'(a)h + o(h))f(a + h) + \lambda(a)(f'(a)h + o(h)) = </tex>
<tex> = (\lambda'(a)h) \cdot f(a) + \lambda(a)f'(a)h + (\lambda'(a)h)(f(a + h) - f(a)) + o(h)f(a + h) + \lambda(a) \cdot o(h) </tex>
<tex> || \frac{1 slag.}{||h||} || = \frac{|\lambda'(a)h|\cdot||f(a + h) - f(a)||}{||h||} \le \frac{||\lambda'(a)||\cdot||h||\cdot||f(a + h) - f(a)||}{||h||} \rightarrow 0 </tex>
<tex> ||2 slag.|| = |o(h)| \cdot ||f(a + h)|| = o(h); \ \ ||f(a + h)|| </tex> — ограничена.
<tex> ||3 slag.|| = ||\lambda(a) \cdot o(h)|| = |\lambda(a)| \cdot ||o(h)|| = o(h) </tex>
2. <tex> \left \langle F, G \right \rangle ' (a)h = (\sum_{i = 1}^{l}f_i g_i)'(a)h = </tex> лин. дифф. <tex> \sum(f_i g_i)'(a)h = \sum(f'_i(a)h)g_i(a) </tex><tex> + f_i(a)(g'_i(a)h) = \left \langle F'(a)h, G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a)h \right \rangle </tex>
Замечание: <tex>m = 1; \ F, G : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^l </tex>
<tex> \left \langle F, G \right \rangle ' (a) = \left \langle F'(a), G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a) \right \rangle </tex>
}}
=== Теорема Лагранжа для векторнозначных функций ===
{{Теорема
|statement=
<tex> F : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}^l; F </tex> — непр. на <tex> [a, b] </tex> и дифф. на <tex> [a, b] </tex>
Тогда: <tex> \exists c_{G(a, b)} : ||F(b) - F(a)|| \le ||F'(c)|| \cdot |b - a| </tex>
|proof=
<tex>\varphi (t) := \langle F(b) - F(a), F(t) \rangle; t \in [a, b]; (\varphi : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}) </tex>
<tex> \varphi(b) - \varphi(a) = \langle F(b) - F(a), F(b) - F(a) \rangle = ||F(b) - F(a)||^2 </tex>
<tex> \begin{matrix} \varphi'(t) = \langle F(b) - F(a), F'(t) \rangle \\
\varphi(b) - \varphi(a) = \varphi'(c)(b - a) \end{matrix} </tex>
<tex> ||F(b) - F(a)|| \le ||F'(c)||(b - a) </tex>
// Если ехать быстро и криво
<tex> F : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2; t \rightarrow (\cos t, \sin t) </tex>
<tex> F' = (-\sin t, \cos t); ||F'(t)|| = 1 </tex> при <tex> \forall t </tex>
<tex> ||F(b) - F(a)|| \ne ||F'(c)|| \cdot (b - a) </tex>
// <tex>||F'(x)|| = 1; (b - a) </tex> — длина дуги; <tex> ||F(b) - F(a)|| </tex> — длина хорды
}}
=== Экстремальное свойство градиента ===
{{Теорема
|statement=
<tex> f : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}; f </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) a, \nabla f(a) \ne 0 </tex>
<tex> l = \frac{\nabla f(a)}{||\nabla f(a)||} </tex> — направление
Тогда <tex> l </tex> указывает напр-е наискорейшего возр. ф-и, а <tex> -l </tex> самого быстрого убывания.
Более того: <tex> \forall </tex> напр. <tex> u : -||\nabla f(a)|| \le \frac{\partial f}{\partial u}(a) \le ||\nabla f(a)|| </tex> равенство достижимо для <tex> u = \pm l </tex>
|proof=
<tex> -||\nabla f(a)|| \cdot ||u|| \le \frac{\partial f}{\partial u}(a) \le ||\nabla f(a)|| \cdot ||u|| </tex> // <tex> u = 1 </tex>
// <tex> \frac{\partial f}{\partial u}(a) = \langle \nabla f(a), u \rangle </tex>
}}
=== Независимость частных производных от порядка дифференцирования ===
{{Теорема
|statement=
<tex> f : E \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}; \ a \in IntE </tex>
<tex> \frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2} </tex> — опр. в окр. <tex> (\cdot) a </tex>, дифф. в окр. <tex> (\cdot) a </tex>
<tex> \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} </tex> и <tex> \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} </tex> — непр. в <tex> (\cdot) a </tex>
Тогда эти две частные производные равны.
|proof=
<tex> \vartriangle^2 f(h, k) = f(a_1 + h, a_2 + k) - f(a_1 + h, a_2) - f(a_1, a_2 + k) + f(a_1, a_2) </tex> — задано при <tex> |h|, |k| < r; V(a) = B(a, 2r) </tex>
фикс. <tex>k: \varphi(h) = f(a_1 + h, a_2 + k) - f(a_1 + h, a_2) </tex>
<tex> \vartriangle^2 f(h, k) = \varphi(h) - \varphi(0) \overbrace{=}^{t. Lagrange} \varphi'(\bar h)h = </tex><tex> (f'_{x_1}(a_1 + \bar h, a_2 + k) - f'_{x_1}(a + \bar h, a_2) )h \overbrace{=}^{t. Lagrange} f''_{x_1 x_2}(a_1 + \bar h, a_2 + \bar k)hk </tex>
<tex> \bar h, \bar k </tex> — средние точки
<tex> \psi(k) = f(a_1 + h, a_2 + k) - f(a_1, a_2 + k) </tex>
<tex> \vartriangle^2 f(h, k) = f''_{x_2 x_1}(a_1 + \hat h, a_2 + \hat k)hk </tex>
<tex> f''_{x_2 x_1}(a_1 + \hat h, a_2 + \hat k) = f''_{x_1 x_2}(a_1 + \bar h, a_2 + \bar k) \Rightarrow f''_{x_2 x_1} = f''_{x_1 x_2} </tex>
}}
* Замечание 1:
Аналогично: <tex> i, j : 1 \le i, j \le m; i \ne j </tex>
<tex> \frac{\partial f}{\partial x_i}, \frac{\partial f}{\partial x_j} </tex> — опр. в окр. <tex> (\cdot) a; \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}, \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i} </tex> — непр. в <tex> (\cdot) a </tex>
* Замечание 2:
Если <tex> f </tex> сущ. част. пр. <tex>k</tex>-того порядка в окр. <tex>(\cdot)a</tex> и все они непр. в <tex>(\cdot)a</tex>
Для <tex> \forall i_1 \ldots i_k </tex> — индексы <tex> \in \{ 1 \ldots m \} </tex>
и <tex> \forall j_1 \ldots \j_k </tex> — которые получаются из набора <tex> i_1 \ldots i_k </tex> перестановка
Верно: <tex> \frac{\partial^k f}{\partial x_{i_1} \ldots \partial x_{i_k}}(a) = \frac{\partial^k f}{\partial x_{j_1} \ldots \partial x_{j_k}}(a) </tex>
=== Полиномиальная формула ===
{{Лемма
|statement=
Если <tex> r \in \mathbb{Z}_+ </tex>, <tex> k </tex> — мультииндекс, <tex> a </tex> - вектор, то <tex> (a_1 + ... + a_m)^r = \sum_{k: (k) = r} \frac{r!}{k!} a^{k} </tex>
|proof=
Индукция по <tex>r</tex>
<tex> r = 1 </tex>
<tex> k = (0, 0, \ldots, \overbrace{1}^{k}, 0, \ldots); a_k \cdot \frac{1!}{0!0! \ldots 1!0! ...} = 1 </tex>
<tex> r = r + 1 </tex>
<tex> (a_1 + ... + a_m)^{r + 1} = (a_1 + ... + a_m) \cdot \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} ... a_m^{k_{m}} = </tex>
<tex> = \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}+1} ... a_m^{k_{m}} + \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} a_2^{k_2 + 1} ... a_m^{k_{m}} + </tex><tex> \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} ... a_{m-1}^{k_{m - 1}} a_m^{k_{m} + 1} = </tex>
<tex> = \sum_{\beta : |\beta| = r + 1; \beta_1 \ge 1} \frac{r! \beta_1}{\beta_1!\beta_2!...\beta_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} + \sum_{\beta : |\beta| = r + 1; \beta_2 \ge 1} \frac{r! \beta_2}{\beta_1!\beta_2!...\beta_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} + </tex> <ещё <tex> m - k </tex> суммы> = <tex> \sum_{|b| = r + 1} \frac{r! (b_1 + ... + b_m)}{b_1! ... b_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} </tex>;
<tex> \beta_1 \ge 1 .. </tex> — это ограничение можно убрать, т.к. все слагаемые с <tex> \beta_1 = 0 </tex> имеют нулевой индекс
<tex> (k_1 + 1, k_2 ... k_m) \to (\beta_1 ... \beta_m) </tex>
}}
* Замечание 1
<tex> \sum_{(k_1...k_m); k_i \ge 0; k_1 + ... + k_m = r} \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} ... a_m^{k_{m}} = </tex><tex> \sum_{i_1 = 1}^m \sum_{i_2 = 1}^m ... \sum_{i_r = 1}^m a_{i_1} a_{i_2} ... a_{i_r} </tex>
* Замечание 2
<tex> m = 2; k_1, k_2 = r - k_1 </tex>
<tex> \sum_{k_1 = 0}^{r} \frac{r!}{k_1!(r - k_1)!} \cdot a_1^{k_1} a_2^{r - k_1} = (a_1 + a_2)^r </tex>
=== Лемма о дифференцировании «сдвига» ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> f: E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} </tex>, <tex> E </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^m </tex>, <tex> \ a \in E, \ h \in \mathbb{R}^m </tex>, так, что <tex> \forall t \in [-1; 1] \ a + th \in E </tex>. Также <tex> f \in C^r(E) </tex>. Пусть <tex> \varphi (t) = f(a + th) </tex>. Тогда <tex> \forall t_0 \in (-1; 1) </tex> верно <tex> \varphi^{r} (t_0) = \sum_{\alpha: (\alpha) = r} \frac{r!}{\alpha!} f^{(\alpha)} (a + t_0 h) h^{\alpha} </tex>.
|proof=
Доказательства нет, есть пример, из которого можно придумать доказательство по индукции, наверное.
}}
=== Многомерная формула Тейлора (с остатком в форме Лагранжа и Пеано) ===
Лагранж:
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> r \in \mathbb{R}_+ </tex>, <tex> D </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^n </tex>, <tex> f \in C^{(r + 1)} (D), \ a, x \in \mathbb{R}^n, \ \overline{a, x} \subset D </tex>. Тогда существует такое <tex> \theta \in (0, 1) </tex>, что <tex dpi="150"> f(x) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (a) }{k!} (x - a)^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (a + \theta(x - a))}{k!} (x - a)^k </tex>.
|proof=
<tex>\phi(t)=f(a+th), t\in{[-1;1]}</tex>
<tex>f(a+h) = \phi(1)</tex>
Разложили <tex>\phi(1)</tex> по одномерной формуле Тейлора в точке 0, используя лемму о дифференцировании сдвига, — получили то, что нужно.
}}
Также можно обозначить точки через <tex> x </tex> и <tex> x + h </tex>, тогда формула запишется в виде <tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (x + \theta h)}{k!} h^k </tex>.
Пеано:
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> r \in \mathbb{N} </tex>, <tex> D </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^n </tex>, <tex> f \in C^{(r + 1)} (D), \ x \in D </tex>. Тогда <tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + o(|h|^r), \ h \to \mathbb{O}_n </tex>.
}}
=== Теорема о пространстве линейных отображений ===
{{Теорема
|statement=
<tex>(1) ||\ldots||_{m, n} </tex> — норма в пр-ве <tex> \mathcal{L}_{m, n} </tex>, то есть
<tex> 1. ||A|| \ge 0, ||A|| = 0 \Leftrightarrow A = \mathbb{O}_{m, n} </tex>
<tex> 2. \forall \lambda \in \mathbb{R} : ||\lambda A|| = |\lambda|\cdot||A|| </tex>
<tex> 3. ||A + B|| \leqslant ||A|| + ||B|| </tex>
<tex> (2) A \in \mathcal{L}_{m, n}, B \in \mathcal{L}_{n, k}: ||BA||_{m, k} \leqslant ||B||_{n, k} \cdot ||A||_{m, n} </tex>
|proof=
<tex>(1)</tex>
1. очевидно <tex>||A|| = 0; sup_{|x| \le 1}|Ax| = 0 \Rightarrow Ax \equiv 0 \Rightarrow A = \mathbb{O} </tex> // для <tex> x \in B(0, 1) </tex>
2. очевидно, св-ва <tex> sup </tex>. Википедия[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D2%EE%F7%ED%E0%FF_%E2%E5%F0%F5%ED%FF%FF_%E8_%ED%E8%E6%ED%FF%FF_%E3%F0%E0%ED%E8%F6%FB_%EC%ED%EE%E6%E5%F1%F2%E2]
3. <tex> \forall x : |(A + B)x| = |Ax + Bx| \le |Ax| + |Bx| \le ||A||\cdot|x| + ||B||\cdot|x| </tex><tex> = (||A|| + ||B||)|x| \Rightarrow ||A + B|| \le C </tex> \\ <tex> ||A|| + ||B|| = C </tex>
<tex>(2)</tex>
<tex> |B(Ax)| \le ||B||\cdot|Ax| \le ||B||\cdot||A||\cdot|x| \Rightarrow ||BA|| \le C </tex> \\ <tex> ||B|| \cdot ||A|| = C </tex>
}}
=== Теорема Лагранжа для отображений ===
{{Теорема
|statement=
<tex> F : E </tex> откр. <tex> \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n; </tex> дифф. <tex> E; a, b \in E </tex>
<tex> [a, b] = \{ c = a + t(b - a), t \in [0, 1] \} \subset E </tex>
Тогда: <tex> \exists c \in [a, b] : |F(b) - F(a)| \le ||F'(c)||\cdot|b - a| </tex>
|proof=
<tex> g(t) = F(a + t(b - a)), t \in [0, 1] \\ g'(t) = F'(a + t(b - a))\cdot(b - a) </tex> // <tex> |g(b) - g(a)| \le |g'(c)|\cdot|b - a| </tex>
<tex> ||F(b) - F(a)|| = |g(1) - g(0)| \le |F'(c)(b - a)| \le ||F'(c)||\cdot|b - a| </tex>
}}
=== Теорема об обратимости линейного отображения, близкого к обратимому ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> A \in \Omega(\mathbb{R}^n) </tex> (<tex> \Omega(\mathbb{R}^n) </tex> — множество обратимых линейных операторов в <tex> \mathbb{R}^n </tex>), <tex> B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n), \ || B - A || < \frac{1}{||A^{-1}||} </tex>. Тогда:
1) <tex> B \in \Omega (\mathbb{R}^n) </tex>;
2) <tex> ||B^{-1}|| \leqslant \frac{1}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} </tex>;
3) <tex> ||B^{-1} - A^{-1}|| \leqslant \frac{||A^{-1}||}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} ||B - A|| </tex>.
|proof=
Лемма: пусть <tex>\exists{c > 0} : \forall{x} |Bx| \ge c|x|</tex>
Тогда <tex>B</tex> — обратим, <tex>||B^{-1}|| \le \frac{1}{c}</tex>
Это правда, потому что <tex>\operatorname{Ker}{B} = \{0\}</tex>, значит, <tex>B</tex> — биекция(пусть <tex>B(x_1)=B(x_2): B(x_1)-B(x_2)=0 \Leftrightarrow B(x_1 - x_2) = 0 \Rightarrow x_1 = x_2</tex>)
Неравенство получается из <tex>|Bx| \ge c|x|</tex> заменой <tex>Bx=y, x = B^{-1}y</tex>
Само доказательство:
<tex>|Bx| = |Ax + (B-A)x| \ge |Ax| - |(B-A)x| \ge \frac{1}{||A^{-1}||}|x| - ||B-A|| \cdot |x| = (\frac{1}{||A^{-1}||} - ||B-A||) \cdot |x|</tex>
По условию теоремы множитель в последней части больше нуля, поэтому по лемме <tex>B</tex> обратим, по этой же лемме выполнено 2).
<tex>||B^{-1} - A^{-1}|| = ||B^{-1}\cdot (A-B) \cdot A^{-1}|| \le ||B^{-1}||\cdot ||A-B|| \cdot ||A^{-1}|| \le \frac{||A^{-1}||}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} ||B - A||</tex>
}}
=== Теорема о непрерывно дифференцируемых отображениях ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n </tex>, где <tex> E </tex> открыто, дифференцируемо на <tex> E </tex>. Тогда эквивалентны утверждения:
<tex> I) F \in C^{1}(E) </tex>
<tex> II) F' : E \rightarrow \mathcal{L}_{m, n} </tex> — непрерывна.
|proof=
<tex> I \Rightarrow II </tex>
<tex> ||A|| \le \sqrt{\sum a_i^2}; A = (a_{ij}); </tex>
? <tex> F' </tex> непр. в <tex> (\cdot) \overline{X} </tex>
<tex> \forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 : \forall x : |x - \overline{x}| < \delta </tex>
<tex> ||F'(x) - F'(\overline{x})|| < \epsilon </tex>
<tex> ||F'(x) - F'(\overline{x})|| \le \sqrt{\sum(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x}))^2} </tex>
<tex> \forall \epsilon > 0 </tex> выберем <tex> \delta : |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x})| < \frac{\epsilon}{\sqrt{mn}}</tex>; при <tex> |x - \overline{x}| < \delta; i = 1 \ldots n; j = 1 \ldots m </tex>
<tex> II \Rightarrow I </tex>
<tex> F' </tex> — непрерывна. <tex> e_1 \ldots e_m </tex> — нормированный базис <tex>\mathbb{R}^m</tex>
<tex> F'(x)e_i = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_i}{\partial x_1}(x) \\ \ldots \\ \frac{\partial f_i}{\partial x_n}(x) \end{pmatrix}; </tex>
<tex> \begin{matrix} |F'(x)e_i| \le ||F'(x)|| \cdot 1 \\ |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x)| \le |F'(x)e_i| \le ||F'(x)|| \end{matrix} </tex>
Точно также: <tex> |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x})| \le ||F'(x) - F'(\overline{x})|| </tex>
}}
=== Необходимое условие экстремума. Теорема Ролля ===
'''Необходимое условие экстремума:'''{{Теорема|statement=Пусть <tex> f: E </tex> открыто <tex> \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}; \ \ a </tex> — точка лок. экстремума. <tex> f </tex> — дифф. на <tex> E </tex>. Тогда <tex> \nabla_a f = 0 </tex> (т.е. <tex> f'_{x_1}(a) = 0, \ldots, f'_{x_m}(a) = 0 </tex>) |proof=Меняем <tex>f(a+l)</tex> на <tex>g(t)=f(a+tl)</tex>, по теореме Ферма из первого семестра <tex>g'(0)=0</tex>. Из этого следует, что все частные производные в точке a равны нулю, что нам и было нужно.}}'''Теорема Ролля:'''{{Теорема|statement=Пусть <tex> f: K </tex> компакт <tex> \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} </tex>, дифференцируемо на <tex> \operatorname{Int} K \ne 0 </tex>, <tex> f \equiv \operatorname{const} </tex> на <tex> \partial K </tex> (граница <tex> K </tex>), <tex> f </tex> — непр. на <tex> K </tex>. Тогда существует <tex> a \in \operatorname{Int} K: \ \nabla f(a) = 0 </tex>.|proof=Если <tex>f</tex> постоянна на <tex>K</tex>, то утверждение очевидно. Если нет, то по [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия|теореме Вейерштрасса]] <tex>f</tex> на компакте достигает наибольшего или наименьшего значения в какой-то точке, а по необходимому условию экстремума в этой точке градиент равен нулю.}} === Лемма об оценке квадратичной форме формы и об эквивалентных нормах ==={{Утверждение|statement=1) Если квадратичная форма <tex> h </tex> положительно определена, то существует такое <tex> \gamma_h </tex>, что <tex> h(x) \ge \gamma_h |x|^2 </tex> для всех <tex> x \in \mathbb{R}^m </tex> <br>2) Пусть <tex> p : \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}_+ </tex> — норма. Тогда <tex> \exists c_1, c_2 > 0 \ \forall x \ c_1 |x| \leqslant p(x) \leqslant c_2 |x| </tex>.|proof=1) <tex> \gamma_h = min_{|x| = 1}h(x) </tex> (Сфера <tex> \{ x : |x| = 1 \} </tex> — компакт по [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия|теореме Вейерштрасса]] <tex> \exists min </tex>) <tex> x = 0 : \text{ok} </tex> <tex> x \ne 0 : h(x) = h(|x| \cdot \frac{x}{|x|}) = |x|^2 \cdot h(\frac{x}{|x|}) \ge \gamma_h |x|^2 </tex> <tex> h(tx) = t^2 h(x) </tex> 2) <tex> c_1 := min_{|x| = 1} p(x); c_2 := max_{|x| = 1} p(x); </tex> — по т. Вейерштрасса (т.к. <tex>p(x)</tex> — непр.) <tex> x = 0 : \text{triv} </tex> <tex> x \ne 0 : p(x) = p(|x| \cdot \frac{x}{|x|}) = |x| \cdot p(\frac{x}{|x|}) \begin{matrix} \le c_2|x| \\ \ge c_1|x| \end{matrix} </tex>}}
=== Достаточное условие экстремума ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f = Е </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} </tex>, дифф. на <tex> Е, a \in E </tex> — стационарная точка <tex> f </tex> (то есть <tex> \nabla f(a) = \mathbb{O}_m </tex>). <tex> d^2 f(a, h) = Q(h) </tex> — кв. форма.
Тогда справедливы следующие утверждения:
1) Если <tex> Q(h) </tex> положительно определённая, то <tex> a </tex> — точка минимума (локального).
2) Если <tex> Q(h) </tex> отрицательно определённая, то <tex> a </tex> — точка максимума (локального).
3) Если <tex> Q(h) </tex> не знакоопределённая, то <tex> a </tex> — не точка экстремума.
4) Если <tex> Q(h) </tex> положительно/отрицально опр. вырожденное, то (?) может быть макс., мин. требуется исследование
|proof=
<tex>(1) : f(a + h) = f(a) + \sum_{i = 1}^{m} f'_{x_i}(a) \cdot h_i + \frac{1}{2} \sum f''_{x_i x_j}(a + \theta h)h_i h_j </tex>
<tex> 2(f(a + h) - f(a)) = \sum_{i, j = 1}^{m}f''_{x_i x_j}(a)h_i h_j + \sum_{i, j = 1}^{m}(f''_{x_i x_j}(a + \theta h) - f''_{x_i x_j}(a))h_i h_j </tex> // <tex> |h_i| < |h| </tex>
Выберем <tex> U(a) </tex> так, чтобы при <tex> a + h \in U(a) </tex>
<tex> \sum |f''_{x_i x_j}(a + \theta h) - f(a)| \le \frac{\gamma}{2} </tex>
<tex> 2(f(a + h) - f(a)) \ge \gamma_Q |h|^2 - \frac{\gamma_Q}{2} |h|^2 > 0 </tex>
Таким образом <tex>a</tex> точка локального минимума
<tex>(3) : Q(h) </tex> — не знакоопределён. <tex> \begin{matrix} h \ne 0 & Q(h) \ge 0 \\ \bar h \ne 0 & Q(\bar h) < 0 \end{matrix} </tex>
<tex> 2(f(a + th) - f(a)) = Q(th) + \sum(f''_{x_i x_j}(a + \theta th) - f''_{x_i x_j}(a))th_i th_j = </tex>
<tex> = t^2 Q(h) + t^2 \sum(f''_{x_i x_j}(a + \theta th) - f''_{x_i x_j}(a))h_i h_j </tex>
<tex>Q(h) > 0; t^2 \sum(f''_{x_i x_j}(a + \theta th) - f''_{x_i x_j}(a))h_i h_j </tex> — при <tex> t \to 0 </tex> эта сумма из '?' б.м по модулю <tex> \le Q(h) </tex> при малых <tex> t </tex>
}}
=== Лемма о почти локальной инъективности ===
{{Лемма
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex> — диффеоморфизм, <tex> x_0 \in \mathbb{R}^m , \ \det F'(x_0) \neq 0 </tex>. Тогда <tex> \exists c, \delta > 0 \ \forall h: |h| < \delta \ | F(x_0 + h) - F(x_0) | \geqslant c|h| </tex>
|proof=
1) <tex> F </tex> — линейное. <tex> \exists (F'(x_0))^{-1} </tex>
<tex> F(x_0 + h) - F(x_0) = F(h); F'(x_0) \equiv F </tex>
<tex> |h| = |F^{-1} Fh| \le ||F^{-1}|| \cdot |Fh| </tex>
<tex> |Fh| \ge \frac{1}{||F^{-1}||} \cdot |h|; c := \frac{1}{||F^{-1}||} </tex>
2) <tex> F(x_0 + h) - F(x_0) = F'(x_0)h + \alpha(h)\cdot|h|; c = \frac{1}{||F'(x_0)^{-1}||} </tex>
<tex> |F(x_0 + h) - F(x_0)| \ge |F'(x_0)h| - |\alpha(h)|\cdot|h| \ge c|h| - |\alpha(h)|\cdot|h| </tex><tex> = (c - (\alpha(h))) \cdot |h| \ge^* \frac{c}{2}\cdot|h| </tex>
// <tex> \ge^*: \exists \delta > 0: </tex> при <tex> |h| < \delta: |\alpha(h)| < \frac{c}{2} </tex>
}}
=== Теорема о сохранении области ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> O </tex> открыто — диффеоморфизм в <tex> O </tex>, <tex> \forall x \in O \ \det(F'(x)) \neq 0 </tex>. Тогда <tex> F(O) </tex> открыто.
* Замечание
1. Если <tex> O </tex> — лин. связное и <tex> F </tex> — непр. <tex> \Rightarrow F(O) </tex> — лин. связное
2. Непрерывность <tex> F : \forall A \subset \mathbb{R}^m : F^{-1}(A) </tex> — откр. [в <tex> O </tex>]
|proof=
<tex> x_0 \in O; y_0 = F(x_0) </tex> — внутрення точка <tex> F(O) </tex>?
<tex> \exists c, \delta : \forall |h| \le \delta \ |F(x_0 + h) - F(x_0)| \ge c|h| </tex>
при <tex> |h| = \delta \ F(x_0 + h) \ne F(x_0) = y_0 </tex>
<tex> dist(y_0, A) = inf_{a \in A} \rho (y_0, c)</tex>
Возьмем <tex> r = \frac{1}{2} dist(y_0, F(S(x_0, \delta))) </tex>(S — сфера, т. е. граница шара)
Утверждение: <tex> B(y_0, r) \subset F(O) </tex>
Т.е.: <tex> \forall y \in B(y_0, r) \ \exists x \in B(x_0, \delta) \ F(x) = y </tex>
<tex> \varphi(x) = |F(x) - y|^2 = (F_1(x_1...x_m) - y_1)^2 + (F_2 - y_2)^2 + \ldots + (F_m - y_m)^2; </tex> <tex> x \in B(x_0, \delta</tex>
<tex> min \varphi </tex> — внутри <tex> B(x_0, \delta) </tex>
В точке <tex>x_0: \varphi(x_0) = |y_0 - y|^2 < r^2 </tex>.
На сфере <tex> S(x_0, \delta) </tex>: <tex> \varphi(x) = |F(x) - y|^2 \ge (\overbrace{|F(x) - y_0|}^{ \ge 2r} - \overbrace{|y - y_0|}^{ < r })^2 \ge r^2 </tex>
<tex> \varphi </tex> — имеет <tex> (\cdot) min </tex> внутри шара <tex> B(x_0, \delta) </tex> по [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия|теореме Вейерштрасса]]
<tex> \begin{cases} 2(F_1(x_1...x_m) - y_1)\frac{\partial F_1}{\partial x_1} + 2(F_2(x_1...x_m) - y_2)\frac{\partial F_2}{\partial x_1} + \ldots + 2(F_m() - y_m)\frac{\partial F_m}{\partial x_1} = 0 \\ \ldots \\ 2(F_1(x_1...x_m) - y_1)\frac{\partial F_1}{\partial x_m} + \ldots + 2(F_m() - y_m)\frac{\partial F_m}{\partial x_m} = 0 \end{cases} </tex>
<tex> det(\frac{\partial F_i}{\partial x_j}) \ne 0 \Rightarrow </tex> в точке минимума <tex> \begin{matrix} F_1(x_1...x_m) = y_1 \\ \ldots \\F_m(x_1..x_m) = y_m \end{matrix} </tex>(у системы есть только тривиальное решение)
}}
=== Теорема о диффеоморфизме ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m, \ F \in C^r(O) </tex>, <tex> F </tex> — обратима и её производная невырождена, <tex> (\forall x \in O \ \det(F'(x))) \neq 0 </tex>.
Тогда:
1) <tex> F^{-1} \in C^r </tex>
2) <tex> y_0 = F(x_0), \ (F^{-1})' (y_0) = (F'(x_0))^{-1} </tex>
|proof=
1) <tex> r = 1 </tex>
<tex>F(O) = O' </tex> — открытое
Пусть <tex> S = F^{-1}, S : O' \to O</tex>
Пусть <tex> U \subset O</tex> — открытое, тогда <tex> S^{-1}(U) </tex> — открытое.
* <tex> T : X \to Y</tex> — непрерывное отображение <tex> \Leftrightarrow \forall U \subset Y : T^{-1}(U) </tex> — открыто. // Мне кажется, из определения диффеоморфизма и предыдущей теоремы следует, что обратное отображение тоже диффеоморфизм и предыдущие строчки и так очевидны.
<tex> y_0 = F(x_0); x_0 = S(y_0) </tex>
<tex> y - y_0 = F(x) - F(x_0) = A(x - x_0) + o(x - x_0) </tex>
<tex> S(y) - S(y_0) = x - x_0 = A^{-1}(y - y_0) - A^{-1} o(x - x_0) </tex>
* <tex> T </tex> — диффеоморфизм, матрица <tex>T'(x_0)</tex> невырождена <tex>\Rightarrow</tex> <tex> \exists c, \delta \ \forall x \in B(x_0, \delta) \ |T(x) - T(x_0)| > c|x - x_0| </tex> // По лемме о почти локальной инъективности
Возьмём <tex> c, \delta </tex> из леммы.
Пусть <tex> T = F'(x_0) </tex>
<tex> y - y_0 = T(x - x_0) + \alpha(x)|x - x_0| </tex>
<tex> S(y) - S(y_0) = T^{-1}(y - y_0) - \overbrace{T^{-1} \alpha(x) |S(y) - S(y_0)|}^{? o(y - y_0)} </tex>
Можно считать, что <tex> y </tex> близко к <tex> y_0 </tex>, так что <tex> |x - x_0| = |S(y) - S(y_0)| < \delta </tex>
<tex> | \ T^{-1} \alpha(x) \cdot |x - x_0| \ | = |T^{-1}(\alpha(x))|\cdot|x - x_0| \le </tex><tex> \| T^{-1} \| \cdot |\alpha(x)| \cdot \frac{1}{c} |F(x) - F(x_0)| \le \frac{\| T^{-1} \|}{c}|y - y_0|\cdot|\alpha(x)| </tex>
<tex>// y \to y_0; x \to x_0; \alpha(x) \to 0 </tex>
<tex> y \mapsto S(y) = x \mapsto F'(x) = T \mapsto T^{-1} = S'(y) </tex>
2) <tex> r </tex> — любое. (без доказательства)
}}
=== Теорема о локальной обратимости ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> O </tex> открыто; <tex> F \in C^1(O, \mathbb{R}^m); x_0 \in O; \det F'(x_0) \ne 0 </tex>
Тогда <tex> \exists U(x_0): \ F |_U </tex> — диффеоморфизм (<tex> F |_U </tex> или <tex> F|U </tex> — сужение отображения <tex> F </tex> на множество <tex> U </tex>).
|proof=
Нужно проверить лишь: <tex> \exists U(x_0) : F|_U </tex> — обратима
[так как можно считать что <tex> \det F'(x) \ne 0 </tex> на <tex> U(x_0) \Rightarrow F(U(x_0)) </tex> открыто и <tex> F^{-1} </tex> определено на открытом множестве и дифференцируемо по предыдущим теоремам]
<tex> |F(x) - F(y)| \ge^{?} |x - y| </tex> // Это какая-то хрень, к тому же она в конце не доказана. Надо проверить, что <tex>\forall{x \neq y} |F(x) - F(y)| > 0</tex>, тогда отображение будет биекцией.
<tex> \exists c \ \forall h \in \mathbb{R}^m : |F'(x_0)h| \ge c|h|; \ U = B(x_0, r) \subset O </tex>
<tex> \begin{matrix} 1: \forall x \in U & \det F'(x) \ne 0 \\ 2: \forall x \in U & \| F'(x) - F'(x_0) \| < \frac{c}{4} \end{matrix} </tex>
<tex> x, y \in B(x_0, r); y = x + h </tex>
<tex> F(y) - F(x) = ( F(x + h) - F(x) - F'(x)h ) + ( F'(x) - F'(x_0) )h + F'(x_0)h </tex>
<tex> |F(y) - F(x)| \ge |F'(x_0)h| - |F(x + h) - F(x) - F'(x)h| - |(F'(x) - F'(x_0))h| \ge </tex>
<tex> \ge c|h| - sup_{t \in [x, x + h]} \| F'(t) - F'(x) \| \cdot |h| - \| F'(x) - F'(x_0) \| \cdot |h| \ge c|h| - \frac{c}{4}|h| - \frac{c}{4}|h| = \frac{c}{2}|h| > 0</tex>
}}
* Замечание
<tex> \det F' \ne 0 </tex> — нужно для дифференцируемости.
<tex> F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}; x \mapsto x^3; F^{-1} </tex> — не дифференцируемо в нуле
=== Теорема о неявном отображении ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> F: E \subset \mathbb{R}^{m + n} \to \mathbb{R}^n </tex>, где <tex> E </tex> открыто, <tex> F \in C^r (E, \mathbb{R}^n), \ (a, b) \in E, \ F(a, b) = 0 </tex>. Пусть известно, что <tex> F'_y (a, b) </tex> невырождено (<tex> \det F'_y (a, b) \neq 0 </tex>). Тогда:
1) существуют открытые <tex> P \subset \mathbb{R}^m, \ Q \subset \mathbb{R}^n, \ a \in P, \ b \in Q </tex>, и существует единственное <tex> \varphi: P \to Q, \varphi \in C^r </tex>, что <tex> \forall x \in P \ F(x, \varphi(x) ) = 0 </tex>
'''Раньше тут был забыт минус!'''
2) <tex> \varphi'(x) = -[F'_y (x, \varphi(x) ) ]^{-1} \cdot F'_x(x, \varphi(x)) </tex>
|proof=
Пусть <tex>\Phi(x, y) = (x, F(x,y))</tex>.
<tex>\Phi(a, b) = (a, 0)</tex>
<tex>\Phi{'} = \begin{pmatrix} E_n & O \\ F'_x & F'_y \end{pmatrix}</tex>.
<tex>\det{\Phi'} = \det{F'_y} \neq 0</tex>
По теореме о локальной обратимости <tex>\exists{U(a,b)}</tex> — такая, что <tex>\Phi</tex> — диффеоморфизм в данной окрестности.
Тогда существует обратное отображение <tex>\Psi(u, v) = (u, H(u, v))</tex>.
Почти очевидно, что <tex>\varphi(x) = H(x, 0)</tex>.
Берем производную — получаем 2): <tex>F'(x, \varphi(x)) = F'_x + F'_{y}\varphi{'} = 0</tex>
}}
=== Теорема о задании гладкого многообразия системой уравнений ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> M \subset \mathbb{R}^m, \ 1 \leqslant k < m, \ 1 \leqslant r \leqslant + \infty </tex> (гладкое многообразие), <tex> p \in M </tex>.
Эквивалентные утверждения:
1) <tex> \exists U(p) \subset \mathbb{R}^m: \ M \cap U(p) </tex> — простое <tex> k </tex>-мерное многообразие
2) <tex> \exists \tilde{U}(p) </tex> и существуют функции <tex> f_1, ..., f_{m - k}: \tilde{U}(p) \to \mathbb{R} </tex> класса <tex> C^r </tex>, для которых выполняются условия:
2.1) <tex> x \in M \cap \tilde{U}(p) \leftrightarrow f_1(x) = 0, ... , f_{m - k}(x) = 0 </tex>
2.2) <tex> \nabla f_1, ... , \nabla f_{m - k} </tex> — линейно независимые
|proof=
<tex> 1 \Rightarrow 2 </tex>
<tex> \Phi : \Omega \to \mathbb{R}^m </tex> — параметризация <tex> C^r; \ p = \Phi(t_0); \ \Phi'(t_0) </tex> — матрица <tex> m \times k </tex>
<tex> Rg \Phi'(t_0) = k </tex> — реализуется на первых <tex> k </tex> степенях
<tex> \det( \frac{\partial \Phi_i}{\partial U_j} (t_0) ) \ne 0; \ L : \mathbb{R}^m \mapsto \mathbb{R}^k; \ (x_1 ... x_m) \mapsto (x_1 ... x_k) </tex>
<tex> 2 \Rightarrow 1 </tex>
Очевидно: <tex> (L \circ \Phi)'(p) </tex> — невырожденно.
<tex> \Phi = (\Phi_1 ... \Phi_m); L \circ \Phi = (\Phi_1 ... \Phi_k) </tex>
<tex> \exists W(t_0) : L \circ \Phi </tex> — диффеоморфизм на <tex> W(t_0) </tex>
<tex> V = (L \circ \Phi)(W) \Rightarrow L </tex> взаимно однозначное отображение <tex> \Phi(W) </tex> на <tex> V </tex>
<tex> \Psi_1 = (L \circ \Phi)^{-1}; \ H : V \to \mathbb{R}^{m - k}; \ \Phi(\Psi(V)) = (V, H(V)) </tex>
<tex> \Phi(W) </tex> — открыто в <tex> M \Rightarrow \Phi(W) </tex> — реал. как <tex> G \cap M, \ G </tex> — откр. в <tex> \mathbb{R}^m </tex>
<tex> G := V \times \mathbb{R}^{m - k}; \ \tilde{U} = G \cap G_1 </tex>
<tex> \begin{cases} f_1 = H_1 - X_{k + 1} \\ \ldots \\ f_{m - k} = H_{m - k} - X_m \end{cases} </tex>
<tex> \begin{matrix} \nabla f_1 = (\frac{\partial H_1}{\partial x_1} \cdots \frac{\partial H_1}{\partial x_k}, 1, 0, \ldots, 0 ) \\ \cdots \\ \nabla f_{m - k} = ( \frac{\partial H_{m - k}}{\partial x_1} \cdots \frac{\partial H_{m - k}}{\partial x_k}, 0, \ldots, 0, 1 ) \end{matrix} </tex>
}}
=== Необходимое условие относительного локального экстремума ===
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> f: E \subset \mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R} </tex>, где <tex> E </tex> открыто, <tex> \Phi : E \to \mathbb{R}^n, \ a \in E, \ \Phi(a) = 0, \ \operatorname{rg} \Phi'(a) = n </tex>. Пусть <tex> f </tex> имеет в точке <tex> a </tex> локальный относительный экстремум. Тогда <tex> \exists \lambda = (\lambda_1 , ... , \lambda_m) \in \mathbb{R}^n </tex>, что
<tex> \begin{cases}
f'(a) + \lambda \Phi'(a) = \mathbb{O}_{m+n} \\
\Phi(a) = \mathbb{O}_n
\end{cases} </tex>
|proof=
Пусть ранг реализуется на столбцах <tex> x_{m + 1}, \ldots, x_{m + n} </tex>. Переобозначим <tex> y_1 = x_{m + 1}; \ldots; y_n = x_{m + n} </tex>.
По теореме о неявном отображении: <tex> \exists \Psi: U(a_x) \rightarrow W(a_0) \\ \forall x \in U(a_x) \ \Phi(x, \Psi(x)) = 0 </tex>
<tex> x \mapsto (x, \Psi(x)) </tex> — гл. параметризация
<tex> g(x) = f(x, \Psi(x)) </tex>; Точка <tex> a_x </tex> — лок. экстремум <tex> g' </tex>.
<tex> f'_x(a) + f'_y(a) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex> — необходимое усл. экстремума в матр. форме.
<tex> \Phi'_x(a) + \Phi'_y(a) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex>
<tex> \forall \lambda \in \mathbb{R}^n : \ \lambda \Phi'_x(a) + \lambda \Phi'_y(a) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex>
<tex> (f'_x(a) + \lambda \Phi'_x(a)) + (f'_y(a) + \lambda \Phi'_y(a)) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex>
<tex> \lambda := -(f'_y(a))(\Phi'_y(a))^{-1} </tex>
При таком <tex> \lambda : </tex>
<tex> \begin{cases} f'_x(a) + \lambda \Phi'_x(a) = 0 \\ f'_y(a) + \lambda \Phi'_y(a) = 0 \\ \Phi(a) = 0 \end{cases} </tex>
}}
== Определения и факты =Вычисление нормы линейного оператора с помощью собственных чисел ==={{Теорема|statement=Пусть <tex> A \in \mathcal{L}_{m, n} </tex>. Тогда <tex> || A || = \max \{\sqrt{\lambda}, \lambda </tex> — собственное число <tex> A^T \cdot A \} </tex>.|proof=<tex> ||A||^2 = max_{|x| = 1}|Ax|^2 = max_{|x| = 1} \langle Ax, Ax \rangle = max_{|x| = 1}\langle A^tAx, x \rangle </tex>}} === Простейшие свойства интеграла векторного поля по кусочно-гладкому пути ===1) Линейность по векторному полю: <tex> I(\alpha V_1 + \beta V_2, \gamma) = \alpha I(V_1, \gamma) + \beta I(V_2, \gamma) </tex>. <tex> \int_{a}^{b} \langle (\alpha V_1 + \beta V_2), \gamma{'} \rangle dt </tex> — по линейному скалярному произведению 2) Аддитивность при дроблении пути: <tex> \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; \ c \in [a, b] </tex> <tex> \gamma_1 : [a, c] \to \mathbb{R}^m; \ t \mapsto \gamma(t); \ \gamma_2 : [c, b] \to \mathbb{R}^m </tex> <tex> I(V, \gamma) = I(V, \gamma_1) + I(V, \gamma_2) </tex>. <tex> \int_{a}^{b} ... = \int_a^c + \int_c^b </tex> 3) Замена параметра: если <tex> \varphi: [p; q] \to [a; b] </tex> — гладкая, <tex> \varphi(p) = a, \ \varphi(q) = b </tex>, <tex> \gamma: [a; b] \to \mathbb{R}^m </tex>, <tex> \tilde{\gamma} = \gamma \circ \varphi: [p; q] \to \mathbb{R}^m </tex> <tex> s \mapsto \gamma(\varphi(s)) </tex> Тогда <tex> I(V, \gamma) = I(V, \tilde{\gamma}) </tex>. <tex> I(V, \gamma) = \int_a^b \langle V(\gamma(t)), \gamma{'}(t) \rangle dt =_{t = \varphi(s)} </tex><tex> \int_a^b \langle V (\gamma(\varphi (s))), \gamma{'}(\varphi (s)) \varphi'(s) \rangle ds = \int_p^q \langle V(\tilde{\gamma}(s)), \tilde{\gamma}'(s) \rangle ds </tex> 4) Пусть <tex> \gamma_1: [a; b] \to \mathbb{R}^m, \ \gamma_2: [c; d] \to \mathbb{R}^m, \ \gamma_1(b) = \gamma_2(c), \ \gamma =\gamma_2 \gamma_1 </tex> — произведение путей: <tex> \gamma: [a; b + d - c] \to \mathbb{R}^m =\begin{cases}\gamma_1(t), \ t \in [a; b] \\\gamma_2(t - b + c), \ t \in [b; b + d - c]\end{cases} </tex> то <tex> I(V, \gamma_2 \gamma_1) = Список I(V, \gamma_1) + I(V, \gamma_2) </tex>. <tex> \int_a^{b + d - c} \langle V(\gamma(t)), \gamma{'}t \rangle dt =\int_a^b + \int_b^{b + d - c} </tex> \\ заменить параметр <tex> s =t - b + c; s \in [c, d] </tex> <tex> \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; \ \gamma_- </tex> — противоположный путь (в обратную сторону) <tex> \gamma_-(t) =\gamma(b + a - t), t \in [a, b] </tex> <tex> I(V, \gamma_-) = -I(V, \gamma) </tex> <tex> \int_a^b \langle V(\gamma(b - a - t)), \gamma_-(t) \rangle dt = \int \langle V (\gamma(s)), \gamma{'}(s) \rangle ds </tex> 5) Оценка интеграла: {{Теорема|statement=<tex> | \int\limits_{a}^{b} (V_1 dx_1 + ... + V_m dx_m) | \leqslant \max_{x \in t_{\gamma}} |V(x)| \cdot L(\gamma) </tex>, где <tex> L(\gamma) </tex> — длина пути. <tex> \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; L_{\gamma} = \gamma [a, b] \subset \mathbb{R}^m </tex>|proof=<tex> | \int_a^b \sum V_i (\gamma(t)) \cdot \gamma{'}_i(t) dt | \le \int_a^b |...| dt \le \int_a^b \sqrt{\sum V_i^2(\gamma(t))} \sqrt{\sum \gamma_i^{'2}(t)} dt = \int_a^b |V(\gamma(t))| \cdot |\gamma{'}(t)| \le max_{x \in L_{\gamma}} (V(x)) \cdot \int_a^b |\gamma{'}(t) dt| </tex>}} === Обобщенная формула Ньютона--Лебница ==={{Теорема|statement=Пусть <tex> V: O \to \mathbb{R}^m </tex> потенциально, <tex> f </tex> — потенциал <tex> V </tex>, <tex> \gamma[a;b] \to O </tex> — кусочно гладкий. Тогда <tex> \int\limits_{\gamma} (V_1 dx_1 + ... V_m dx_m) = f(\gamma(b)) - f(\gamma(a)) </tex>.|proof=1) <tex> \int\limits_{\gamma} \sum V_k d x_k = \int\limits_{a}^{b} (V_1(\gamma(t))\cdot\gamma'_1 + \ldots + V_m(\gamma(t))\cdot\gamma'_m) = f(\gamma(t))|_a^b </tex> — доказано для гладкого пути \\ <tex> V_1(\gamma(t))\cdot\gamma'_1 + \ldots + V_m(\gamma(t))\cdot\gamma'_m = f(\gamma(t))' </tex> <tex> = f(\gamma_1(t)\ldots\gamma_m(t))' = \frac{\partial f}{\partial x_1}\cdot\gamma'_1 + \ldots + \frac{\partial f}{\partial x_m}\cdot\gamma'_m </tex> \\ <tex> \frac{\partial f}{\partial x_1} = V_1; \ldots; \frac{\partial f}{\partial x_m} = V_m </tex> 2) <tex> a = t_0 < t_1 < \ldots < t_n = b </tex> <tex> \gamma|_{[t_{k-1}, t_{k}]} </tex> — гладкий <tex> \int\limits_{\gamma}\sum_k V_k d x_k = \sum_k (\int\limits_{t_k-1}^{t_k} \sum_i V_i d \gamma_i) = </tex><tex> \sum(f(\gamma(t_k)) - f(\gamma(t_{k-1}))) = f(\gamma(b)) - f(\gamma(a)) </tex>}} === Характеризация потенциальных векторных полей в терминах интегралов ==={{Теорема|statement=Если <tex> V : O \to \mathbb{R}^m </tex> тогда эквиваленты следующие утверждение: 1) V потенциально в <tex> O </tex> 2) Интеграл <tex> V </tex> не зависит от пути (в обл. <tex> O </tex>) 3) <tex> \forall \gamma : [a, b] \to O, \ \gamma(a) = \gamma(b); \ \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = 0 </tex>|proof=<tex> 1 \Rightarrow 2 </tex> — формула [[Участник:Yulya3102/Матан#Формула Ньютона-Лейбница для кусочно-непрерывных функций|Ньютона-Лейбница]] <tex> 2 \Rightarrow 3 </tex> — очевидно <tex> \gamma </tex> — петля; <tex> \gamma_1(t) \equiv \gamma(a) </tex> <tex> \int_{\gamma_1} \sum V_i dx_i = 0 = \int_{\gamma} \sum V_i dx_i </tex> <tex> 3 \Rightarrow 2 </tex> — очевидно <tex> \gamma := \gamma_{2-} \cdot \gamma_1; \ 0 = \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_{\gamma_{2-}} + \int_{\gamma_1} = \int_{\gamma_1} - \int_{\gamma_2} </tex> <tex> 2 \Rightarrow 1 </tex> Фиксируем точку <tex> x_0 \in O; \ \forall x \in O </tex> Возьмём как-нибудь путь <tex> \gamma_x </tex> из <tex> x_0 </tex> в <tex> x </tex> <tex> f(x) := \int_{\gamma_x} \sum V_i dx_i; f </tex> — потенциал? Докажем, что <tex> \frac{\partial f}{\partial x_1} = V_1 </tex> (аналогично <tex> \frac{\partial f}{\partial x_i} = V_i; \ i = 2...m </tex>) Равномерно сходящийся рядВыберем <tex> B(x, r) \subset O </tex>
=== Равномерно сходящийся ряд Лемма о похожести путей, близких к данному ===http{{Лемма|statement=Пусть <tex> \gamma: [a, b] \to O </tex>. Тогда [любые два пути, мало отличающиеся от данного — похожие] <tex> \exists \delta > 0 </tex> такое, что если пути <tex> \gamma_1, \gamma_2:[a, b] \to O </tex> — «близкие» к <tex> \gamma; * </dictex>, то есть <tex> \forall t \in [a, b] \ \ | \gamma(t) - \gamma_1(t) | < \delta, \ | \gamma(t) - \gamma_2(t) | < \delta </tex>, то <tex> \gamma_1, \gamma_2 </tex> похожи.academic|proof=Cуществуют дробление <tex> a = t_0 < t_1 < .ru.. < t_n = b </dictex> и шары <tex> B_1, ...nsf/enc_mathematics, B_n \subset O </4568tex> для <tex> \gamma </%D0%A0%D0%90%D0%92%D0%9D%D0%9E%D0%9C%D0%95%D0%A0%D0%9D%D0%9Etex>
<tex> \exists \delta_k > 0 : \delta_k =dist(\gamma[t_{k - 1}, t_k], \partial B_k); g(t) == Радиус сходимости степенного ряда ===http://school-collection.edu.ru/catalog/res/e7fcbdcc-1e1d-438f-b821-dbbe69c37389/viewdist(\gamma(t), \partial B_k) </tex>
<tex> \delta :=== Формула Адамара ===http://ru.wikipedia.org/wiki\min_{1 \le k \le n} \delta_k </%D0%9A%D1%80%D1%83%D0%B3_%D1%81%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 (в других местах бред)tex>
<tex> A_k === Комплексная производная ===http\{ x \in \mathbb{R}^n ://clubmt.ru/lec3/lec34.htm \exists t \in [t_{k - 1}, t_{k}] \ \ \rho(\gamma(тут первое определениеt), x) < \delta \} \subset B_k </tex>
<tex> \forall \gamma_1, \gamma_2 </tex> — удовл. <tex> * : \gamma_1 [a, b] \subset \cup_{k =1}^{n} A_k, \gamma_2 \subset \cup_{k == Экспонента синус 1}^{n} A_k </tex> и косинус комплексной переменной ===http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0#.D0.9A.D0.BE.D0.BC.D0.BF.D0.BB.D0.B5.D0.BA.D1.81.D0.BD.D0.B0.D1.8F_.D1.8D.D0.BA.D1.81.D0.BF.D0.BE.D0.BD.D0.B5.D0.BD.D1.82.D0.B0 <tex> (экспронента\{B_k\}, \{t_i\})http:<//rutex> — гусеница реал.wikipediaпохож.org/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8#.D0.A2.D1.80.D0.B8.D0.B3.D0.BE.D0.BD.D0.BE.D0.BC.D0.B5.D1.82.D1.80.D0.B8.D1.87.D0.B5.D1.81.D0.BA.D0.B8.D0.B5_.D1.84.D1.83.D0.BD.D0.BA.D1.86.D0.B8.D0.B8_.D0.BA.D0.BE.D0.BC.D0.BF.D0.BB.D0.B5.D0.BA.D1.81.D0.BD.D0.BE.D0.B3.D0.BE_.D0.B0.D1.80.D0.B3.D1.83.D0.BC.D0.B5.D0.BD.D1.82.D0.B0 (синус косинус)путей}}
=== Отображение бесконечно малое в точке Равенство интегралов по гомотопным путям ==={{Теорема|statement=== o(h) при hПусть <tex> V </tex> — локально-потенциальное векторное поле в <tex>0 ==O </tex>, <tex> \gamma_0, \gamma_1: [a; b] \to O </tex> — связанно гомотопны. Тогда <tex> \int\limits_{\gamma_0} \sum V_i dx_i =\int\limits_{\gamma_1} \sum V_i dx_i </tex>. Тоже верно для петельной гомотопии.=== Дифференцируемое отображение ==|proof=//<tex>\operatorname{Int} DGamma </tex> — множество внутренних точек гомотопия. <tex> \gamma_u(внутренностьt) множества D.= \Gamma(t, u), \ u \in [0, 1] </tex>
<tex> (\forall u_0 \ \exists W(u_0) <//tex> при <tex>u \in W(u_0) : \mathbb{O}_nPhi </tex> — ???постоянна)
<tex>f\forall \delta > 0 \ \exists \zeta > 0 \ \forall (x+ht_1, u_1)=f, (xt_2, u_2)+Ah+o\in [a, b] \times [0, 1] \ \ </tex><tex>\ \ \begin{matrix} |t_1 - t_2| < \zeta \\ |u_1 - u_2| < \zeta \end{matrix} </tex> верно <tex> |\Gamma(ht_1, u_1)- \Gamma(t_2, hu_2)| < \tofrac{\mathbbdelta}{O2}_n</tex>,}}
}}
1) <tex>\int\limits_0^{\pi/2} \cos^n x dx \underset{n \to + \infty}{\sim} \int\limits_0^{n^{-\frac{1}{3}}} \cos^{n}x dx</tex> Доказывается заменой <tex>\cos^n{x} = e^{n\ln{\cos{x}}}</tex> и каким-то подбором нового предела интегрирования, зависящего от n (конспект, стр.143) 2) Доказываем, что x — точка максимума для <tex>\ln{\cos{x}}</tex>, вместе с этим заменяем по формуле Тейлора <tex>n\ln{\cos{x}}</tex> на <tex>-\frac{nx^2}{2}+o(x^2)</tex> и показываем, что это <tex>o(x^2)</tex> не мешает подставить замену в интеграл. 3) Делаем замену <tex>t=\sqrt{\frac{n}{2}}x, dx = \sqrt{\frac{2}{n}}dt</tex>, получаем интеграл из условия. }} === Лемма о локализации (в методе Лапласа) ==={{Лемма|statement=Пусть <tex> f(x) </tex> непрерывна, <tex>f(x+h)> 0 </tex> на <tex> (a; b), \ \int\limits_a^b f(x) dx =M, \ \varphi(x) </tex> строго монотонно убывает, непрерывна. Тогда <tex> \forall c \in (a, b) \ \int\limits_a^b f(x)e^{A \varphi(x)} \underset{A \to +Ah+\alphainfty}{\sim} \int\limits_a^c f(x) e^{A \varphi(hx)} </tex>.|h|proof=<tex> \int_{c}^{b} f(x) e^{A \varphi(x)} \le \max_{x \in [c, b]} e^{A \varphi(x)} \int_c^b f(x)dx \le e^{A \varphi(c)}M </tex>,
}}
=== Матрица Якоби Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов === {{ОпределениеТеорема|definitionstatement=Пусть отображение <tex>f> 0 </tex> на <tex> (a; b) </tex>, непрерывна, <tex> \int\limits_a^b f = M, \ f(t) \sim L(t - a)^q, \ t \to a, \ q > -1, \ L > 0, \ \varphi </tex> непрерывна, строго убывает, <tex> \varphi(a) - \varphi(t) \sim c(t - a)^p, \ p > 0 </tex>. Тогда <tex> \int\limits_a^b f(t) e^{A \varphi(t)} dt \underset{A \to + \infty}{\sim} e^{A \varphi(a)} \cdot \frac{1}{p} \cdot \frac{1}{(cA)^{\frac{q + 1}{p}}} \cdot \Gamma(\frac{q + 1}{p}) </tex>. |proof= * В доказательстве используется прием:Dпри <tex>q > 1, p > 0, A > 0, s > 0</tex> в интеграле <tex>\subsetint\mathbblimits_0^s t^q e^{R-At^p}dt</tex> * вводим замену <tex>u = At^np, t = (\frac{u}{A})^{1/p}, dt = \frac{u^{1/p-1}}{pA^{1/p}}</tex>. * Тогда он превращается в <tex>\frac{1}{pA^{\frac{q+1}{p}}} \int\limits_0^{As^p} u^{\frac{q+1}{p} - 1}e^{-u}du</tex>, который при <tex>A\to{+\infty}</tex> стремится к <tex>\mathbbfrac{R1}{pA^m{\frac{q+1}{p}}}\Gamma({\frac{q+1}{p}})</tex> дифференцируемо в точке '''Утверждения:''' 1) <tex>x\forall{c\in(a, b)}\ \forall{\varepsilon > 0}\ \exists{A_0}\ \forall{A > A_0}\ \int\limits_a^c{fe^{A\varphi}} \le \int\limits_a^b{fe^{A\varphi}} \le (1 + \varepsilon)\int\limits_a^c{fe^{A\varphi}}</tex> (следствие из теоремы о локализации) 2) <tex>\forall{\varepsilon > 0}\ \exists{A_0}\operatorname\forall{IntA > A_0} D</tex>. Матрица оператора <tex>f'(x1-\varepsilon)\frac{1}{pA^{\frac{q+1}{p}}}\Gamma(\frac{q+1}{p}) \le \int\limits_0^s t^q e^{-At^p} dt \le \frac{1}{pA^{\frac{q+1}{p}}}\Gamma(\frac{q+1}{p})</tex> называется (следствие из приема выше. Да, читается ужасно) '''матрицей ЯкобиДоказательство''' отображения Выбираем окрестность точки <tex>a: [a; a+s]</tex> и <tex>\varepsilon</tex>такое, что <tex>1-\varepsilon < \frac{f(t)}{L(t-a)^q} < 1+\varepsilon</tex> в точке <tex>1-\varepsilon < \frac{\varphi(a) - \varphi(t)}{c(t-a)^p} < 1+\varepsilon</tex> Для <tex>A > A_0</tex>, удовлетворяющих двум утверждениям выше, выполняется: <tex>\int\limits_a^b f(t)e^{A\varphi(t)} dt \le (1+\varepsilon)\int\limits_a^{a+s}L(t-a)^q \cdot e^{A\varphi(a)} \cdot e^{-A(\varphi(a)-\varphi(t)} dt \le</tex> <tex>\le (1+\varepsilon)Le^{A\varphi(a)}\int\limits_0^s{\tau^q}e^{-Ae^{c(1-\varepsilon)\tau^p}}d\tau</tex> По утверждению 2 это меньше или равно <tex>\frac{1+\varepsilon}{(1-\varepsilon)^{\frac{q+1}{p}}}\cdot L\cdot [e^{A \varphi(a)} \frac{1}{p(cA)^{\frac{q + 1}{p}}} \Gamma(\frac{q + 1}{p})]</tex>. В квадратных скобках то, что нам нужно. Используя другие части неравенства, находим, что <tex>x\int\limits_a^b f(t)e^{A\varphi(t)} dt \ge \frac{1-\varepsilon}{(1+\varepsilon)^{\frac{q+1}{p}}}\cdot L\cdot [e^{A \varphi(a)} \frac{1}{p(cA)^{\frac{q + 1}{p}}} \Gamma(\frac{q + 1}{p})]</tex>. Вроде доказали.
}}
=== Дифференциал отображения Теорема Вейерштрасса о приближении функций многочленами ==={{ОпределениеТеорема|definitionstatement=Величина Пусть <tex>f'</tex> непрерывна на <tex> [a; b] </tex>. Тогда существует многочлен (последовательность многочленов?) <tex> P_n(x)h, \ n = 1, 2 ... </tex> называется '''дифференциалом''' отображения , что <tex>\forall x \in [a; b] \ P_n(x) \to f(x) </tex>.|proof=<tex> [a, b] \subset [a - 1, b + 1] = [a_1, b_1] </tex> // Можно считать <tex> \begin{matrix} [a, b] = [\frac{1}{3}, \frac{2}{3}] \\ [a_1, b_1] = [0, 1] \end{matrix} </tex> в точке <tex>\tilde f(x) = \begin{cases} f(x), x \in [a, b] \\ f(a), x\in [a_1, a] \\ f(b) x \in [b, b_1] \end{cases} </tex> Заметим, соответствующим приращению что: <tex>h\int_{a_1}^{b_1} \tilde f(t)(1 - (x - t)^2)^n dt \sim_{n \to +\infty} \sqrt{\frac{\pi}{n}} f(x); \ x \in [a, b] </tex> <tex> \varphi (t) = ln(1 - (x - t)^2); \ max \varphi </tex> — достигается при <tex> t = x </tex> <tex> \varphi(t) \sim -(x - t)^2, и обозначается t \to x </tex>df <tex> \varphi''(x) = -2,h\ \varphi(x)= 0 </tex> или <tex>d_x Q_n(x) \sim \sqrt{\frac{\pi}{n}} f(hx), \ n \to +\infty </tex> <tex> \sqrt{\frac{n}{\pi}} Q_n (x) \to f(x)_{x \in [a_1, b]}, \ n \to +\infty </tex>.
}}
* Замечание
=== Производная по вектору, по направлению ====== Градиент Формула Стирлинга для Гамма-функции ==={{ОпределениеТеорема|definitionstatement=Пусть <tex>f:D\subsetGamma (x + 1) \mathbbunderset{R}^nx \to+ \mathbbinfty}{R\sim},x^x e^{-x} \insqrt{2 \operatorname{Intpi x}D</tex>. Если существует такой вектор |proof=<tex>a\inGamma(x + 1) = \mathbbint_0^{R+\infty}t^nx e^{-t} dt =_{t = ux; \ dt = xdu} \ </tex>, что <tex>f(\ x^{x+h)1} \int_0^{+\infty} u^x e^{-ux} du =f(x)^{x +1} \langle a,hint_0^{+\rangle+oinfty} e^{-x(hu - \ln u),h} du \to\mathbb{O}_n</tex>, то функция <tex>f</tex> называется '''дифференцируемой''' в точке <tex>xsim </tex>.
}}
<tex> \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_{\gamma_1} \sum V_i dx_i</tex>
=== Частная производная второго порядка, k-го порядка ====== Классы функций $C^k(E)$ ====== Мультииндекс Определения и обозначения с ним ====== Формула Тейлора (различные виды записи) ====== $n$-й дифференциал ====== Норма линейного оператора ====== Локальный максимум, минимум, экстремум =факты ===== Положительно-, отрицательно-[[Участник:Yulya3102/Матан3сем/Определения|Перемещено, незнако- определенная квадратичная форма ====== Диффеоморфизм ====== Формулировка теоремы о неявном отображении в терминах систем уравнений ====== Гладкое простое $k$а то из-мерное многообразие в {\mathbb R}^m ===за большого размера страница не грузится на некоторых телефонах]]
