Множества — различия между версиями
Komarov (обсуждение | вклад) (→Операции) |
(→Операции) |
||
(не показано 16 промежуточных версий 6 участников) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
− | |||
[[Категория:Математический анализ 1 курс]] | [[Категория:Математический анализ 1 курс]] | ||
+ | ==Начальные определения== | ||
+ | Множество - первичное математическое понятие, которому не может быть дано строгое математическое определение. Часто множество определяют как «совокупность объектов, объединенных общим свойством». | ||
− | + | В [[Математический анализ 1 курс|математическом анализе]] используется «наивная» теория множеств, которая является удобным языком описания фактов. Создана немецким математиком Г. Кантором(1870). | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | В математическом анализе используется | ||
<tex>a \in A</tex> (объект а принадлежит множеству А) | <tex>a \in A</tex> (объект а принадлежит множеству А) | ||
Строка 13: | Строка 9: | ||
<tex>a \notin A</tex> (объект а не принадлежит множеству А) | <tex>a \notin A</tex> (объект а не принадлежит множеству А) | ||
− | =Задание множеств= | + | ==Задание множеств== |
1) Перечислением элементов: <tex> A = \{a_1, a_2 ..., a_n, ...\} </tex> | 1) Перечислением элементов: <tex> A = \{a_1, a_2 ..., a_n, ...\} </tex> | ||
− | 2) Заданием определенного свойства обьектов: <tex> A = \{a: P\} </tex> , где P - определенное свойство обьекта а | + | 2) Заданием определенного свойства обьектов: <tex> A = \{a: P\} </tex> , где P {{---}} определенное свойство обьекта а |
− | =Операции= | + | ==Операции== |
− | # <tex> A \subset B </tex> (A является подмножеством B, каждый элемент из А также принадлежит В (<tex> \forall x: x \in A \Rightarrow x \in B </tex>); | + | # <tex> A \subset B </tex> (A является подмножеством B, каждый элемент из А также принадлежит В (<tex> \forall x: x \in A \Rightarrow x \in B </tex>)); |
# <tex> A \cap B </tex> (Пересечение множеств А и В: <tex> (x \in A) \wedge (x \in B) </tex>); | # <tex> A \cap B </tex> (Пересечение множеств А и В: <tex> (x \in A) \wedge (x \in B) </tex>); | ||
# <tex> A \cup B </tex> (Объединение множеств А и В: <tex> (x \in A) \vee (x \in B) </tex>); | # <tex> A \cup B </tex> (Объединение множеств А и В: <tex> (x \in A) \vee (x \in B) </tex>); | ||
# <tex> B \backslash A </tex> (Разность множеств: <tex> (x \in B) \wedge (x \notin A) </tex>; | # <tex> B \backslash A </tex> (Разность множеств: <tex> (x \in B) \wedge (x \notin A) </tex>; | ||
− | # <tex> \varnothing </tex> - пустое множество: | + | # <tex> \varnothing </tex> {{---}} пустое множество: |
− | # <tex> A \cup \varnothing = A </tex> | + | #* <tex> A \cup \varnothing = A </tex> |
− | # <tex> A \cap \varnothing = \varnothing </tex> | + | #* <tex> A \cap \varnothing = \varnothing </tex> |
− | # <tex> \forall A: \varnothing \subseteq A </tex> | + | #* <tex> \forall A: \varnothing \subseteq A </tex> |
− | # <tex> \bigcup\limits_{\alpha\in W} A_\alpha</tex> - | + | # <tex> \bigcup\limits_{\alpha\in W} A_\alpha</tex> {{---}} объединение нескольких множеств. В общем случае может состоять из бесконечного количества множеств: |
#* <tex> \bigcup\limits_{j \in N} A_j = A_1 \cup A_2 \cup </tex> ... | #* <tex> \bigcup\limits_{j \in N} A_j = A_1 \cup A_2 \cup </tex> ... | ||
#* <tex> \bigcup\limits_{0 < x < 1} A_x </tex> | #* <tex> \bigcup\limits_{0 < x < 1} A_x </tex> | ||
#* <tex> \bigcup\limits_{\alpha \in W} A_{\alpha} </tex>, и так далее.. | #* <tex> \bigcup\limits_{\alpha \in W} A_{\alpha} </tex>, и так далее.. | ||
− | # <tex> A \cup B \cup C ... \subseteq U </tex> - | + | # <tex> A \cup B \cup C ... \subseteq U </tex> {{---}} «множество всего», «универсальное множество»; |
− | # <tex>\overline{A} = U </tex> \ <tex> A </tex> - дополнение множества А, дополнительное множество к А до U | + | # <tex>\overline{A} = U </tex> \ <tex> A </tex> {{---}} дополнение множества А, дополнительное множество к А до U. |
+ | |||
+ | == Теорема де Моргана == | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|about= | |about= | ||
− | + | де Моргана | |
|statement= | |statement= | ||
<tex>\overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} = \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \\ | <tex>\overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} = \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \\ | ||
\overline{\bigcap\limits_\alpha A_\alpha} = \bigcup\limits_\alpha \overline{A_\alpha} </tex> | \overline{\bigcap\limits_\alpha A_\alpha} = \bigcup\limits_\alpha \overline{A_\alpha} </tex> | ||
|proof= | |proof= | ||
− | + | Докажем первое утверждение, второе доказывается аналогично. | |
+ | Для того, чтобы доказать равенство множеств, докажем, что первое множество включает второе и наоборот (частый приём при доказательстве равенства двух множеств). | ||
+ | # <tex>\overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} \subseteq \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha}</tex> | ||
+ | #* Пусть <tex>x \in \left ( \overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} \right )</tex>. Значит, не существует <tex>\alpha_1</tex> такого, что <tex>x \in A_{\alpha_1}</tex>. Следовательно, <tex>x \in \overline{A_\alpha}</tex> для любого <tex>\alpha</tex> и <tex>x \in \left (\bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \right )</tex>. | ||
+ | #* В силу выбора <tex>x</tex> (любой элемент множества <tex>\overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha}</tex>) следует искомое включение. | ||
+ | # <tex>\bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \subseteq \overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha}</tex> | ||
+ | #* Пусть <tex>x \in \left ( \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \right )</tex>. Тогда для любого <tex>\alpha</tex> <tex>x \in \overline{A_\alpha}</tex>, то есть, <tex>x \notin A_\alpha</tex>. Поскольку <tex>x</tex> не входит ни в одно объединяемое множество, то <tex>x \notin \bigcup\limits_\alpha A_\alpha</tex>, то есть, <tex>x \in \overline{\bigcup\limits_{\alpha} A_\alpha}</tex> | ||
+ | #* Аналогично, в силу выбора <tex>x</tex> выполняется искомое включение. | ||
}} | }} | ||
+ | |||
+ | Теорема де Моргана устанавливает двойственность понятий объединения и пересечения множеств. То есть, имея некоторое верное равенство, содержащее объединения и пересечения, можно переписать его, заменив пересечения на объединения и наоборот. Например, из равенства | ||
+ | :<tex>(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)</tex> следует равенство | ||
+ | :<tex>(A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)</tex>. | ||
+ | Доказывается это следующим образом: равны множества, значит, равны дополнения. После раскрытия дополнений приходим к написанному равенству. |
Версия 01:11, 10 февраля 2015
Начальные определения
Множество - первичное математическое понятие, которому не может быть дано строгое математическое определение. Часто множество определяют как «совокупность объектов, объединенных общим свойством».
В математическом анализе используется «наивная» теория множеств, которая является удобным языком описания фактов. Создана немецким математиком Г. Кантором(1870).
(объект а принадлежит множеству А)
(объект а не принадлежит множеству А)
Задание множеств
1) Перечислением элементов:
2) Заданием определенного свойства обьектов:
, где P — определенное свойство обьекта аОперации
- (A является подмножеством B, каждый элемент из А также принадлежит В ( ));
- (Пересечение множеств А и В: );
- (Объединение множеств А и В: );
- (Разность множеств: ;
-
-
- ...
- , и так далее..
— объединение нескольких множеств. В общем случае может состоять из бесконечного количества множеств:
- — «множество всего», «универсальное множество»;
- \ — дополнение множества А, дополнительное множество к А до U.
Теорема де Моргана
Теорема (де Моргана): |
Доказательство: |
Докажем первое утверждение, второе доказывается аналогично. Для того, чтобы доказать равенство множеств, докажем, что первое множество включает второе и наоборот (частый приём при доказательстве равенства двух множеств).
|
Теорема де Моргана устанавливает двойственность понятий объединения и пересечения множеств. То есть, имея некоторое верное равенство, содержащее объединения и пересечения, можно переписать его, заменив пересечения на объединения и наоборот. Например, из равенства
- следует равенство
- .
Доказывается это следующим образом: равны множества, значит, равны дополнения. После раскрытия дополнений приходим к написанному равенству.