Изменения
→Операции
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
==Начальные определения==
Множество - первичное математическое понятие, которому не может быть дано строгое математическое определение. Часто множество определяют как «совокупность объектов, объединенных общим свойством».
<tex>a \in A</tex> (объект а принадлежит множеству А)
<tex>a \notin A</tex> (объект а не принадлежит множеству А)
==Задание множеств==
1) Перечислением элементов: <tex> A = \{a_1, a_2 ..., a_n, ...\} </tex>
2) Заданием определенного свойства обьектов: <tex> A = \{a: P\} </tex> , где P {{- --}} определенное свойство обьекта а
==Операции==
# <tex> A \subset B </tex> (A является подмножеством B, каждый элемент из А также принадлежит В (<tex> \forall x: x \in A \Rightarrow x \in B </tex>));
# <tex> A \cap B </tex> (Пересечение множеств А и В: <tex> (x \in A) \wedge (x \in B) </tex>);
# <tex> A \cup B </tex> (Объединение множеств А и В: <tex> (x \in A) \vee (x \in B) </tex>);
# <tex> B \backslash A </tex> (Разность множеств: <tex> (x \in B) \wedge (x \notin A) </tex>;
# <tex> \varnothing </tex> {{--- }} пустое множество:# * <tex> A \cup \varnothing = A </tex># * <tex> A \cap \varnothing = \varnothing </tex># * <tex> \forall A: \varnothing \subseteq A </tex># <tex> \bigcup\limits_{\alpha\in W} A_\alpha</tex> {{--- обьединение }} объединение нескольких множеств. В общем случае может состоять из бесконечного количества множеств:
#* <tex> \bigcup\limits_{j \in N} A_j = A_1 \cup A_2 \cup </tex> ...
#* <tex> \bigcup\limits_{0 < x < 1} A_x </tex>
#* <tex> \bigcup\limits_{\alpha \in W} A_{\alpha} </tex>, и так далее..
# <tex> A \cup B \cup C ... \subseteq U </tex> {{-- "-}} «множество всего".», «универсальное множество»;# <tex>\overline{A} = U </tex> \ <tex> A </tex> {{-- -}} дополнение множества А, дополнительное множество к А до U;. == Теорема де Моргана ==
{{Теорема
|about=
|statement=
<tex>\overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} = \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \\
\overline{\bigcap\limits_\alpha A_\alpha} = \bigcup\limits_\alpha \overline{A_\alpha} </tex>
|proof=
}}
Теорема де Моргана устанавливает двойственность понятий объединения и пересечения множеств. То есть, имея некоторое верное равенство, содержащее объединения и пересечения, можно переписать его, заменив пересечения на объединения и наоборот. Например, из равенства
:<tex>(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)</tex> следует равенство
:<tex>(A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)</tex>.
Доказывается это следующим образом: равны множества, значит, равны дополнения. После раскрытия дополнений приходим к написанному равенству.
