Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Множества

3134 байта убрано, 01:11, 10 февраля 2015
→‎Операции
{{В разработке}}
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
==Начальные определения==
Множество - первичное математическое понятие, которому не может быть дано строгое математическое определение. Часто множество определяют как «совокупность объектов, объединенных общим свойством».
Лекция от 06.09.10. ''Множество'' {{---}} первичное математическое понятие, которому не может быть дано строгое математическое определение. Часто множество определяют как «совокупность объектов, объединенных общим свойством». В [[Математический анализ 1 курс|математическом анализе ]] используется «наивная» теория множеств, которая является удобным языком описания фактов. Создана немецким математиком Г. Кантором(1870).
<tex>a \in A</tex> (объект а принадлежит множеству А)
<tex>a \notin A</tex> (объект а не принадлежит множеству А)
 
== Мощность множества ==
Лекция от 20 сентября 2010.
{{Определение
|definition=
Если А и В {{---}} произвольные множества, и между ними можно установить биекцию, что они '''равномощны''': <tex> |A| = |B| </tex>
}}
 
Множество называется ''конечным'', если его элементы можно пересчитать, иначе его оно называется ''бесконечным''.
 
{{Определение
|definition=
Если <tex> |A| = |\mathbb N| </tex>, то A называется '''счетным''' множеством.
}}
 
<tex> A = \{a_1, a_2, ... , a_n \} </tex> - счетное множество.
 
Мощность счетных множеств минимальна по сравнению с другими бесконечными множествами.
 
{{Утверждение
|statement=
Если А - бесконечное множество, то в нем содержится по меньшей мере одно счетное подмножество.
|proof=
<tex> B \subset A </tex>
 
<tex> a_1 \in A \Rightarrow A \backslash \{ a_1 \} = A_1 </tex> - бесконечное множество.
 
<tex> a_2 \in A_1 \Rightarrow A_1 \backslash \{ a_2 \} = A_2 </tex> - также бесконечное множество.
 
Продолжаем этот процесс далее, пока не останется <tex> B \subset A </tex> - счетное множество. (ЩИТО? У кого есть что-нибудь адекватное насчет этого, исправьте, пожалуйста.)
}}
 
Если <tex> \{ a_1, a_2, ... , a_n, ... \} </tex> - совокупность попарно различных элементов, то это - счетное множество.
 
Для счетных множеств часто применяется следующий факт:
{{Утверждение
|statement=
Не более чем счетное объединение не более, чем счетных множеств, не более, чем счетно:
 
Пусть <tex> A_n </tex> - счетное/конечное множество.
 
Тогда: <tex> | \bigcup\limits_n A_n | = |\mathbb N| </tex>
 
|proof=
 
<tex> A_n = \{ a_{n1}, a_{n2}, ... \} </tex>.
 
TODO: А вот тут должна какая-то биекция, доказывающая это утверждение.
 
<tex> \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots \\ a_{21} & a_{22} & \cdots \\ a_{31} & \cdots \\ \cdots \end{pmatrix} </tex>
}}
 
{{Определение
|definition=
<tex> Множество I = [0, 1] </tex> называется ''континииумом''.
}}
 
{{Утверждение
|statement=
<tex> I </tex> - несчетное множество.
|proof=
Будем доказывать от противного. Применим принцип вложенных отрезков:
 
Пусть <tex> I = \{ x_1, x_2, ... , x_n \} </tex>
 
Разделим I на 3 части и назовем <tex> \Delta_1 : x_1 \notin \Delta_1 </tex>. Такой отрезок всегда существует.
 
Далее разобьем <tex> \Delta_1 </tex> на 3 части. Назовем <tex> \Delta_2 </tex> тот отрезок, который не содержит <tex> x_2 </tex>, и так далее..
 
В результате выстраивается система вложенных отрезков:
 
<tex> \{ \Delta_n : \Delta_{n+1} \subset \Delta_n, x_n \notin \Delta_n \} </tex>
 
По свойству системы вложенных отрезков:
 
<tex> \exists d = \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \Delta_n </tex>
 
<tex> d \in I </tex>. Пусть теперь <tex> d \in \{ x_i \} \Rightarrow d = x_{n_0} </tex>.
 
По построению: <tex> d = x_{n_0} \notin \Delta_{n_0} </tex>, но <tex> d \in \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \Delta_n \Rightarrow d \in \Delta_{n_0} </tex>, противоречие.
 
}}
 
Если <tex> |A| = |I| </tex>, то обычно говорят, что А ''обладает мощностью континиума'':
 
{{Утверждение
|statement=
<tex> |\mathbb R| = |I| </tex>
|proof=
Рассмотрим функцию <tex> y = tg \, x, x \in ( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ) </tex>
 
С ее помощью можно установить биекцию между множествами <tex> \mathbb R </tex> и <tex> ( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ) </tex>.
 
Биекцию между множествами <tex> (0, 1) </tex> и <tex> ( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ) </tex> можно установить параллельным переносом и сжатием:
 
<tex> x \leftrightarrow (x * \pi) - \frac {\pi}{2} </tex>
 
Получили, что <tex> |\mathbb R| = | ( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ) | = | (0, 1) | </tex>.
 
Осталось доказать, что <tex> |(0, 1)| = |[0, 1]| </tex>.
 
Применим следующий прием:
 
Пусть <tex> a_1, a_2, ... , a_n, ... \in (0, 1) </tex> - попарно различны.
 
Множество <tex> A = \{ a_1, a_2, ... , a_n, ... \} </tex> - счетное.
 
Определим множество <tex> B = A \cup \{ 0, 1 \} </tex>. Множество <tex> B </tex> также счетное.
 
Между счетными множествами можно установить биекцию: <tex> B \leftrightarrow A \Rightarrow (0, 1) \backslash A = [0, 1] \backslash B
\Rightarrow (0, 1) = [0, 1] \Rightarrow |(0, 1)| = |[0, 1]| </tex>
 
В итоге получили, что <tex> |\mathbb R| = |[0, 1]| </tex>
 
}}
 
<tex> \mathbb Q </tex> - счетно.
 
<tex> |\mathbb R \backslash \mathbb Q| = |I| \Rightarrow </tex> иррациональных чисел по мощности континииум.
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
==Задание множеств==
1) Перечислением элементов: <tex> A = \{a_1, a_2 ..., a_n, ...\} </tex>
2) Заданием определенного свойства обьектов: <tex> A = \{a: P\} </tex> , где P {{- --}} определенное свойство обьекта а
==Операции==
# <tex> A \subset B </tex> (A является подмножеством B, каждый элемент из А также принадлежит В (<tex> \forall x: x \in A \Rightarrow x \in B </tex>));
# <tex> A \cap B </tex> (Пересечение множеств А и В: <tex> (x \in A) \wedge (x \in B) </tex>);
# <tex> A \cup B </tex> (Объединение множеств А и В: <tex> (x \in A) \vee (x \in B) </tex>);
# <tex> B \backslash A </tex> (Разность множеств: <tex> (x \in B) \wedge (x \notin A) </tex>;
# <tex> \varnothing </tex> {{--- }} пустое множество:# * <tex> A \cup \varnothing = A </tex># * <tex> A \cap \varnothing = \varnothing </tex># * <tex> \forall A: \varnothing \subseteq A </tex># <tex> \bigcup\limits_{\alpha\in W} A_\alpha</tex> {{--- обьединение }} объединение нескольких множеств. В общем случае может состоять из бесконечного количества множеств:
#* <tex> \bigcup\limits_{j \in N} A_j = A_1 \cup A_2 \cup </tex> ...
#* <tex> \bigcup\limits_{0 < x < 1} A_x </tex>
#* <tex> \bigcup\limits_{\alpha \in W} A_{\alpha} </tex>, и так далее..
# <tex> A \cup B \cup C ... \subseteq U </tex> {{-- "-}} &laquo;множество всего".&raquo;, &laquo;универсальное множество&raquo;;# <tex>\overline{A} = U </tex> \ <tex> A </tex> {{-- -}} дополнение множества А, дополнительное множество к А до U;. == Теорема де Моргана ==
{{Теорема
|about=
Де де Моргана
|statement=
<tex>\overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} = \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \\
\overline{\bigcap\limits_\alpha A_\alpha} = \bigcup\limits_\alpha \overline{A_\alpha} </tex>
|proof=
????????Докажем первое утверждение, второе доказывается аналогично.Для того, чтобы доказать равенство множеств, докажем, что первое множество включает второе и наоборот (частый приём при доказательстве равенства двух множеств).# <tex>\overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} \subseteq \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha}</tex>#* Пусть <tex>x \in \left ( \overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} \right )</tex>. Значит, не существует <tex>\alpha_1</tex> такого, что <tex>x \in A_{\alpha_1}</tex>. Следовательно, <tex>x \in \overline{A_\alpha}</tex> для любого <tex>\alpha</tex> и <tex>x \in \left (\bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \right )</tex>.#* В силу выбора <tex>x</tex> (любой элемент множества <tex>\overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha}</tex>) следует искомое включение.# <tex>\bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \subseteq \overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha}</tex>#* Пусть <tex>x \in \left ( \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \right )</tex>. Тогда для любого <tex>\alpha</tex> <tex>x \in \overline{A_\alpha}</tex>, то есть, <tex>x \notin A_\alpha</tex>. Поскольку <tex>x</tex> не входит ни в одно объединяемое множество, то <tex>x \notin \bigcup\limits_\alpha A_\alpha</tex>, то есть, <tex>x \in \overline{\bigcup\limits_{\alpha} A_\alpha}</tex>#* Аналогично, в силу выбора <tex>x</tex> выполняется искомое включение.
}}
 
Теорема де Моргана устанавливает двойственность понятий объединения и пересечения множеств. То есть, имея некоторое верное равенство, содержащее объединения и пересечения, можно переписать его, заменив пересечения на объединения и наоборот. Например, из равенства
:<tex>(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)</tex> следует равенство
:<tex>(A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)</tex>.
Доказывается это следующим образом: равны множества, значит, равны дополнения. После раскрытия дополнений приходим к написанному равенству.
Анонимный участник
Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Служебная:Сравнение_версий/5109...44824»

Навигация