Изменения
Нет описания правки
{{В разработке}}
Будем рассматривать пару пространств <tex>X, Y</tex> и оператор <tex>A: X \rightarrow to Y</tex>.
{{Определение
{{Определение
|definition=
'''Нормой''' оператора <tex>A</tex> называется <tex>\|A\| = \sup\limits_{\|x\| = \le 1} \| Ax \|</tex>.
}}
{{Определение
|definition=
Оператор <tex>A</tex> '''непрерывен''' в точке <tex>x_0</tex>, если <tex>\lim\limits_{x \rightarrow to x_0} Ax = Ax_0</tex>.
}}
#: А непрерывен в 0, следовательно, непрерывен и на X.
# Пусть <tex>\mathcal{A}</tex> {{---}} непрерывен на X, в частности, в <tex>0</tex>, тогда:
#: Подставляем в определение <tex>\varepsilon = 1: ~ \exists \delta > 0: \forall z: \left \| z \right \| \le \delta \Rightarrow to ~ \left \| \mathcal{A}(z) \right \| \le \varepsilon = 1</tex>
#* Для <tex>x = 0</tex> условие ограничения будет соблюдено при любом <tex>m</tex>.
#* Для <tex>x \ne 0</tex> рассмотрим <tex>z = \frac{\delta}{2} \frac {x}{\left \| x \right \|}.\quad</tex> <tex> \left \| z \right \| = \frac{\delta}{2} < \delta \Rightarrow to \left \| \mathcal{A}(z) \right \| \le 1 </tex>
#*: Но <tex>\mathcal{A} \left ( z \right ) = \frac {\delta}{2 \left \| x \right \|} \mathcal{A}(x) </tex>. Значит, <tex> \| \mathcal{A}(z) \| = \frac {\delta}{2 \| x \|} \| \mathcal{A}(x) \| \le 1</tex>, таким образом, <tex> \| \mathcal{A}(x) \| \le \frac2{\delta} \| x \|</tex>
#: Выберем <tex> m = \frac2{\delta} </tex>, и получим, что оператор ограничен.
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>Y</tex> - линейное пространствомножество, <tex>Cl Y = X</tex>, <tex>A: Y \rightarrow to Z</tex> - линейный ограниченный оператор, <tex>Z</tex> {{---}} банахово.Тогда <tex>\exists ! B: X \rightarrow to Z</tex>:
# <tex>B|_Y = A</tex>
# <tex>\|B\| = \|A\|</tex>
|proof=
Так как <tex>Cl Y = X</tex>, то для любого <tex>x</tex> из <tex>X</tex> можно подобрать последовательность <tex>y_n \in Y: y_n \rightarrow to x</tex>.
<tex>z_n = Ay_n \in Z</tex>, <tex>\|z_n - z_m\| = \|A(y_n - y_m)\| \le \|A\|\|y_n - y_m\| \xrightarrow[n,m\to \infty]{} 0</tex>.
}}
Обычно пространство линейных ограниченных операторов из <tex>X</tex> в <tex>Y</tex> обозначают как <tex>L(X, Y)</tex>.
{{Теорема
|statement=
Проверим, что <tex>A</tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, <tex>A = \lim\limits_{n \to \infty} A_n</tex>. Рассмотрим <tex>\|x\| \le 1</tex>.
Так как <tex>\{A_n\}</tex> сходится в себе, то <tex>\forall \varepsilon \exists N: \forall n, m \ge N : \| A_n - A_m \| < \varepsilon</tex>.
По определению <tex>A</tex>, <tex>\forall x \forall \varepsilon \exists N_1(x): \forall n \ge N_1 : \| A_n x - A x \| < \varepsilon</tex>.
Значит, для любого <tex>x</tex> можно выбрать <tex>n_1 (x) \ge N, N_1(x)</tex>, такое, что <tex>\forall m \ge N: \|Ax - A_m x\| \le \|Ax - A_{n_1} x\| + \|(A_{n_1} - A_m) x\| \le 2 \varepsilon</tex>.
Таким образом, <tex>\|A - A_m\| = \sup\limits_{\|x\| \le 1} \|Ax - A_m x\| \le 2 \varepsilon \to 0</tex>.
Сама по себе задача вычисления <tex>\|A\|</tex> может быть нетривиальной даже в конечномерном случае.
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Bounded_operator Bounded operator]
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]
